Номер 4, страница 3 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. В плоскости $\beta$ проведена прямая $b$, пересекающая плоскость $\alpha$. Докажите, что точка пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$ принадлежит прямой $a$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами и определениями стереометрии.

1. Обозначим точку пересечения прямой $b$ и плоскости $α$ как точку $M$. По определению, если прямая пересекает плоскость, то точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости. Следовательно, мы можем утверждать, что:
• Точка $M$ принадлежит прямой $b$ ($M \in b$).
• Точка $M$ принадлежит плоскости $α$ ($M \in α$).

2. По условию задачи, прямая $b$ проведена в плоскости $β$. Это означает, что вся прямая $b$ целиком лежит в плоскости $β$ ($b \subset β$). Если точка принадлежит прямой, которая лежит в плоскости, то эта точка также принадлежит и самой плоскости. Поскольку $M \in b$, из этого следует, что точка $M$ принадлежит плоскости $β$ ($M \in β$).

3. Теперь объединим полученные выводы. Мы установили, что:
• $M \in α$
• $M \in β$

Это означает, что точка $M$ является общей точкой для двух плоскостей $α$ и $β$.

4. По условию задачи, плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $a$. По определению, линия пересечения двух плоскостей — это множество всех точек, которые принадлежат обеим этим плоскостям. Так как точка $M$ принадлежит одновременно и плоскости $α$, и плоскости $β$, она обязана лежать на их линии пересечения, то есть на прямой $a$.

Таким образом, мы доказали, что точка $M$, являющаяся точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $α$, принадлежит прямой $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения прямой $b$ и плоскости $α$ является общей точкой для прямой $b$ и плоскости $α$. Так как прямая $b$ лежит в плоскости $β$, эта точка также принадлежит и плоскости $β$. Следовательно, эта точка принадлежит обеим плоскостям ($α$ и $β$), а значит, она принадлежит и линии их пересечения — прямой $a$.