Номер 3, страница 3 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Треугольники $ABC$ и $ABD$ не лежат в одной плоскости (рис. 1). На отрезке $AC$ отметили точку $M$, а на отрезке $BC$ — точку $K$ так, что $AM : MC = CK : KB = 1 : 2$. Постройте:

1) линию пересечения плоскостей $ABC$ и $DMK$;

2) точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABD$.

1) линию пересечения плоскостей ABC и DMK;

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которая содержит все их общие точки. Найдём две общие точки для плоскостей (ABC) и (DMK).

Точка M по условию лежит на отрезке AC. Так как отрезок AC целиком лежит в плоскости (ABC), то и точка M принадлежит плоскости (ABC). С другой стороны, плоскость (DMK) по определению проходит через точку M. Следовательно, точка M является общей для плоскостей (ABC) и (DMK).

Аналогично, точка K по условию лежит на отрезке BC. Так как отрезок BC целиком лежит в плоскости (ABC), то и точка K принадлежит плоскости (ABC). Плоскость (DMK) по определению проходит через точку K. Следовательно, точка K также является общей для плоскостей (ABC) и (DMK).

Поскольку обе точки M и K принадлежат каждой из плоскостей, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией их пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей ABC и DMK является прямая MK.

2) точку пересечения прямой MK с плоскостью ABD.

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо найти точку, принадлежащую одновременно и прямой, и плоскости. Пусть P — искомая точка пересечения прямой MK с плоскостью (ABD). Тогда должны выполняться два условия: $P \in MK$ и $P \in (ABD)$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что прямая MK полностью лежит в плоскости (ABC). Так как точка P принадлежит прямой MK, то она также принадлежит и плоскости (ABC), то есть $P \in (ABC)$.

Таким образом, точка P является общей точкой для плоскостей (ABC) и (ABD). Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая AB, так как точки A и B принадлежат обеим плоскостям. Следовательно, искомая точка P должна лежать на прямой AB, то есть $P \in AB$.

Итак, точка P — это точка, которая принадлежит одновременно и прямой MK, и прямой AB. Значит, P является точкой пересечения этих прямых. Прямые MK и AB лежат в одной плоскости (ABC) и пересекутся, если они не параллельны.

Проверим, параллельны ли прямые MK и AB, используя обратную теорему Фалеса для треугольника ABC. Прямая MK была бы параллельна AB, если бы выполнялось равенство пропорций отрезков, отсекаемых от одного из углов, например, от угла C: $CM/MA = CK/KB$.
Из условия задачи имеем:
$AM : MC = 1 : 2$, откуда $CM : MA = 2 : 1$.
$CK : KB = 1 : 2$.
Сравнивая отношения, получаем: $2/1 \neq 1/2$.
Так как пропорция не выполняется, прямые MK и AB не параллельны.

Поскольку прямые MK и AB лежат в одной плоскости (ABC) и не параллельны, они пересекаются в единственной точке. Эта точка и является искомой точкой пересечения прямой MK с плоскостью (ABD).
Для построения этой точки необходимо продлить отрезки AB и MK до их пересечения.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямых MK и AB.