Номер 2, страница 3 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и С, если:

1) $AB = 13 \text{ см}$, $BC = 17 \text{ см}$, $AC = 24 \text{ см}$;

2) $AB = 14 \text{ см}$, $BC = 16 \text{ см}$, $AC = 30 \text{ см}$?

1) Для определения количества плоскостей, которые можно провести через три точки A, B и C, необходимо выяснить их взаимное расположение. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если же точки лежат на одной прямой (коллинеарны), то через них можно провести бесконечно много плоскостей.
Чтобы проверить, лежат ли точки на одной прямой, нужно воспользоваться неравенством треугольника. Если сумма длин любых двух отрезков, соединяющих эти точки, больше длины третьего отрезка, то точки образуют треугольник и не лежат на одной прямой.
Проверим это условие для $AB = 13$ см, $BC = 17$ см, $AC = 24$ см:
$AB + BC = 13 + 17 = 30$ см. $30 \text{ см} > 24 \text{ см}$, следовательно, $AB + BC > AC$.
$AB + AC = 13 + 24 = 37$ см. $37 \text{ см} > 17 \text{ см}$, следовательно, $AB + AC > BC$.
$BC + AC = 17 + 24 = 41$ см. $41 \text{ см} > 13 \text{ см}$, следовательно, $BC + AC > AB$.
Так как неравенство треугольника выполняется для всех сторон, точки A, B и C не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести только одну плоскость.
Ответ: 1 плоскость.

2) Проверим, лежат ли точки на одной прямой при заданных условиях: $AB = 14$ см, $BC = 16$ см, $AC = 30$ см.
Для этого проверим, не равен ли один из отрезков сумме двух других.
Найдем сумму длин отрезков AB и BC:
$AB + BC = 14 + 16 = 30$ см.
Полученная сумма равна длине отрезка AC ($30 \text{ см} = 30 \text{ см}$). Равенство $AB + BC = AC$ означает, что точка B лежит на отрезке AC, то есть все три точки A, B и C лежат на одной прямой.
Через прямую, на которой лежат три точки, можно провести бесконечное множество плоскостей.
Ответ: бесконечное множество плоскостей.