Страница 3 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1

Основные понятия стереометрии.

Аксиомы стереометрии

1. Изобразите: плоскость $\alpha$, проходящую через прямую $m$; точку $E$, принадлежащую плоскости $\alpha$ и не принадлежащую прямой $m$; точку $M$, не принадлежащую плоскости $\alpha$; прямую $c$, пересекающую плоскость $\alpha$ в точке $E$. Запишите с помощью соответствующих символов утверждение:

1) плоскость $\alpha$ проходит через прямую $m$;

2) точка $E$ принадлежит плоскости $\alpha$;

3) точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$;

4) прямая $c$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$.

Сначала изобразим пространственную конфигурацию, описанную в условии задачи. Плоскость α обычно изображают в виде параллелограмма. Прямая m полностью лежит в этой плоскости. Точка E также принадлежит плоскости α, но не лежит на прямой m. Точка M расположена вне плоскости α. Прямая c пересекает плоскость α в точке E. Часть прямой c, которая находится за плоскостью (невидимая), изображается пунктирной линией.

Теперь запишем каждое утверждение с помощью соответствующих математических символов.

1) плоскость α проходит через прямую m
Это означает, что прямая m целиком лежит в плоскости α, то есть все точки прямой m также являются точками плоскости α. В символьной записи для этого используется знак включения множества ⊂.
Ответ: $m \subset \alpha$

2) точка E принадлежит плоскости α
Это означает, что точка E является элементом множества точек, образующих плоскость α. Для обозначения принадлежности элемента множеству используется знак ∈.
Ответ: $E \in \alpha$

3) точка M не принадлежит плоскости α
Это означает, что точка M не является элементом множества точек, из которых состоит плоскость α. Используется перечеркнутый знак принадлежности ∉.
Ответ: $M \notin \alpha$

4) прямая с пересекает плоскость α в точке E
Это означает, что пересечением множества точек прямой c и множества точек плоскости α является единственная общая точка E. Для обозначения операции пересечения множеств используется знак ∩.
Ответ: $c \cap \alpha = E$

2. Сколько плоскостей можно провести через точки A, B и С, если:

1) $AB = 13 \text{ см}$, $BC = 17 \text{ см}$, $AC = 24 \text{ см}$;

2) $AB = 14 \text{ см}$, $BC = 16 \text{ см}$, $AC = 30 \text{ см}$?

1) Для определения количества плоскостей, которые можно провести через три точки A, B и C, необходимо выяснить их взаимное расположение. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если же точки лежат на одной прямой (коллинеарны), то через них можно провести бесконечно много плоскостей.
Чтобы проверить, лежат ли точки на одной прямой, нужно воспользоваться неравенством треугольника. Если сумма длин любых двух отрезков, соединяющих эти точки, больше длины третьего отрезка, то точки образуют треугольник и не лежат на одной прямой.
Проверим это условие для $AB = 13$ см, $BC = 17$ см, $AC = 24$ см:
$AB + BC = 13 + 17 = 30$ см. $30 \text{ см} > 24 \text{ см}$, следовательно, $AB + BC > AC$.
$AB + AC = 13 + 24 = 37$ см. $37 \text{ см} > 17 \text{ см}$, следовательно, $AB + AC > BC$.
$BC + AC = 17 + 24 = 41$ см. $41 \text{ см} > 13 \text{ см}$, следовательно, $BC + AC > AB$.
Так как неравенство треугольника выполняется для всех сторон, точки A, B и C не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести только одну плоскость.
Ответ: 1 плоскость.

2) Проверим, лежат ли точки на одной прямой при заданных условиях: $AB = 14$ см, $BC = 16$ см, $AC = 30$ см.
Для этого проверим, не равен ли один из отрезков сумме двух других.
Найдем сумму длин отрезков AB и BC:
$AB + BC = 14 + 16 = 30$ см.
Полученная сумма равна длине отрезка AC ($30 \text{ см} = 30 \text{ см}$). Равенство $AB + BC = AC$ означает, что точка B лежит на отрезке AC, то есть все три точки A, B и C лежат на одной прямой.
Через прямую, на которой лежат три точки, можно провести бесконечное множество плоскостей.
Ответ: бесконечное множество плоскостей.

3. Треугольники $ABC$ и $ABD$ не лежат в одной плоскости (рис. 1). На отрезке $AC$ отметили точку $M$, а на отрезке $BC$ — точку $K$ так, что $AM : MC = CK : KB = 1 : 2$. Постройте:

1) линию пересечения плоскостей $ABC$ и $DMK$;

2) точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABD$.

1) линию пересечения плоскостей ABC и DMK;

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которая содержит все их общие точки. Найдём две общие точки для плоскостей (ABC) и (DMK).

Точка M по условию лежит на отрезке AC. Так как отрезок AC целиком лежит в плоскости (ABC), то и точка M принадлежит плоскости (ABC). С другой стороны, плоскость (DMK) по определению проходит через точку M. Следовательно, точка M является общей для плоскостей (ABC) и (DMK).

Аналогично, точка K по условию лежит на отрезке BC. Так как отрезок BC целиком лежит в плоскости (ABC), то и точка K принадлежит плоскости (ABC). Плоскость (DMK) по определению проходит через точку K. Следовательно, точка K также является общей для плоскостей (ABC) и (DMK).

Поскольку обе точки M и K принадлежат каждой из плоскостей, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией их пересечения.

Ответ: Линией пересечения плоскостей ABC и DMK является прямая MK.

2) точку пересечения прямой MK с плоскостью ABD.

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо найти точку, принадлежащую одновременно и прямой, и плоскости. Пусть P — искомая точка пересечения прямой MK с плоскостью (ABD). Тогда должны выполняться два условия: $P \in MK$ и $P \in (ABD)$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что прямая MK полностью лежит в плоскости (ABC). Так как точка P принадлежит прямой MK, то она также принадлежит и плоскости (ABC), то есть $P \in (ABC)$.

Таким образом, точка P является общей точкой для плоскостей (ABC) и (ABD). Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая AB, так как точки A и B принадлежат обеим плоскостям. Следовательно, искомая точка P должна лежать на прямой AB, то есть $P \in AB$.

Итак, точка P — это точка, которая принадлежит одновременно и прямой MK, и прямой AB. Значит, P является точкой пересечения этих прямых. Прямые MK и AB лежат в одной плоскости (ABC) и пересекутся, если они не параллельны.

Проверим, параллельны ли прямые MK и AB, используя обратную теорему Фалеса для треугольника ABC. Прямая MK была бы параллельна AB, если бы выполнялось равенство пропорций отрезков, отсекаемых от одного из углов, например, от угла C: $CM/MA = CK/KB$.
Из условия задачи имеем:
$AM : MC = 1 : 2$, откуда $CM : MA = 2 : 1$.
$CK : KB = 1 : 2$.
Сравнивая отношения, получаем: $2/1 \neq 1/2$.
Так как пропорция не выполняется, прямые MK и AB не параллельны.

Поскольку прямые MK и AB лежат в одной плоскости (ABC) и не параллельны, они пересекаются в единственной точке. Эта точка и является искомой точкой пересечения прямой MK с плоскостью (ABD).
Для построения этой точки необходимо продлить отрезки AB и MK до их пересечения.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямых MK и AB.

4. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. В плоскости $\beta$ проведена прямая $b$, пересекающая плоскость $\alpha$. Докажите, что точка пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$ принадлежит прямой $a$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами и определениями стереометрии.

1. Обозначим точку пересечения прямой $b$ и плоскости $α$ как точку $M$. По определению, если прямая пересекает плоскость, то точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости. Следовательно, мы можем утверждать, что:
• Точка $M$ принадлежит прямой $b$ ($M \in b$).
• Точка $M$ принадлежит плоскости $α$ ($M \in α$).

2. По условию задачи, прямая $b$ проведена в плоскости $β$. Это означает, что вся прямая $b$ целиком лежит в плоскости $β$ ($b \subset β$). Если точка принадлежит прямой, которая лежит в плоскости, то эта точка также принадлежит и самой плоскости. Поскольку $M \in b$, из этого следует, что точка $M$ принадлежит плоскости $β$ ($M \in β$).

3. Теперь объединим полученные выводы. Мы установили, что:
• $M \in α$
• $M \in β$

Это означает, что точка $M$ является общей точкой для двух плоскостей $α$ и $β$.

4. По условию задачи, плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $a$. По определению, линия пересечения двух плоскостей — это множество всех точек, которые принадлежат обеим этим плоскостям. Так как точка $M$ принадлежит одновременно и плоскости $α$, и плоскости $β$, она обязана лежать на их линии пересечения, то есть на прямой $a$.

Таким образом, мы доказали, что точка $M$, являющаяся точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $α$, принадлежит прямой $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения прямой $b$ и плоскости $α$ является общей точкой для прямой $b$ и плоскости $α$. Так как прямая $b$ лежит в плоскости $β$, эта точка также принадлежит и плоскости $β$. Следовательно, эта точка принадлежит обеим плоскостям ($α$ и $β$), а значит, она принадлежит и линии их пересечения — прямой $a$.

5. Вершина $A$ треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины $B$ и $C$ ей не принадлежат. Продолжения биссектрис $BM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $M$ и $K$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки A, M и K лежат на одной прямой, покажем, что все они принадлежат линии пересечения двух плоскостей.

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, B и E. Обозначим эту плоскость как (ABE).

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, C и F. Обозначим эту плоскость как (ACF).

Поскольку точка A является общей для обеих плоскостей, они пересекаются по прямой, проходящей через точку A. Назовем эту прямую d. Таким образом, d = (ABE) ∩ (ACF).

Теперь докажем, что точки M и K также принадлежат этой прямой d.

Для точки M:

• По условию, точка M лежит на отрезке AC. Так как точки A и C принадлежат плоскости (ACF), вся прямая AC, а значит и точка M, лежит в плоскости (ACF). Итак, M ∈ (ACF).
• Также по условию, продолжение биссектрисы BM пересекает плоскость α в точке E. Это означает, что точки B, M и E лежат на одной прямой. Так как точки A, B и E определяют плоскость (ABE), а точки B, M, E лежат на одной прямой, то точка M принадлежит плоскости (ABE). Итак, M ∈ (ABE).

Поскольку точка M принадлежит обеим плоскостям (ABE) и (ACF), она должна лежать на их линии пересечения, то есть на прямой d.

Для точки K:

• По условию, точка K лежит на отрезке AB. Так как точки A и B принадлежат плоскости (ABE), вся прямая AB, а значит и точка K, лежит в плоскости (ABE). Итак, K ∈ (ABE).
• Также по условию, продолжение биссектрисы CK пересекает плоскость α в точке F. Это означает, что точки C, K и F лежат на одной прямой. Так как точки A, C и F определяют плоскость (ACF), а точки C, K, F лежат на одной прямой, то точка K принадлежит плоскости (ACF). Итак, K ∈ (ACF).

Поскольку точка K принадлежит обеим плоскостям (ABE) и (ACF), она также должна лежать на их линии пересечения, то есть на прямой d.

Таким образом, мы доказали, что все три точки — A, M и K — лежат на одной и той же прямой d, которая является линией пересечения плоскостей (ABE) и (ACF). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки A, M и K лежат на одной прямой.