Страница 5 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки:

1) $A_1$, $C_1$ и $D$;

2) $A$, $C$ и середину ребра $BB_1$.

Для построения сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся аксиомами и свойствами стереометрии. Основной метод заключается в соединении заданных точек, лежащих в одной грани, и последующем нахождении точек пересечения секущей плоскости с ребрами параллелепипеда.

1) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точки: A₁, C₁ и D

Для построения сечения, проходящего через точки $A_1$, $C_1$ и $D$, выполним следующие шаги:

1. Соединим точки, которые лежат в плоскости одной и той же грани параллелепипеда.
2. Точки $A_1$ и $C_1$ принадлежат верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезок $A_1C_1$ является стороной искомого сечения.
3. Точки $C_1$ и $D$ принадлежат задней грани $CDD_1C_1$. Следовательно, отрезок $C_1D$ также является стороной сечения.
4. Точки $A_1$ и $D$ принадлежат левой боковой грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $A_1D$ — это третья сторона сечения.

В результате получаем замкнутую фигуру — треугольник $A_1C_1D$. Все стороны этого треугольника лежат на гранях параллелепипеда. Таким образом, треугольник $A_1C_1D$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $A_1C_1D$.

2) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точки: A, C и середину ребра BB₁

Обозначим середину ребра $BB_1$ точкой $M$. Для построения сечения, проходящего через точки $A$, $C$ и $M$, выполним следующие шаги:

1. Соединим точки, которые лежат в плоскости одной и той же грани параллелепипеда.
2. Точки $A$ и $C$ принадлежат нижней грани $ABCD$. Проводим отрезок $AC$, который является стороной искомого сечения.
3. Точка $A$ является вершиной передней грани $ABB_1A_1$. Точка $M$ лежит на ребре $BB_1$, которое также принадлежит этой грани. Следовательно, точки $A$ и $M$ лежат в одной плоскости. Проводим отрезок $AM$ — вторую сторону сечения.
4. Точка $C$ является вершиной правой боковой грани $BCC_1B_1$. Точка $M$ лежит на ребре $BB_1$, которое также принадлежит этой грани. Следовательно, точки $C$ и $M$ лежат в одной плоскости. Проводим отрезок $CM$ — третью сторону сечения.

Полученные отрезки $AC$, $AM$ и $CM$ образуют треугольник $ACM$. Этот треугольник "отсекает" вершину $B$ от параллелепипеда. Так как все стороны треугольника $ACM$ являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями параллелепипеда, он и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ACM$, где $M$ — середина ребра $BB_1$.

14. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3). Точка $M$ принадлежит ребру $DD_1$, точка $K$ — ребру $CC_1$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Рис. 3

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, содержащую прямую $MK$.

Точка $M$ принадлежит ребру $DD_1$, а точка $K$ принадлежит ребру $CC_1$. Так как ребра $DD_1$ и $CC_1$ параллельны и задают плоскость боковой грани $CDD_1C_1$, то прямая $MK$ целиком лежит в этой плоскости $(CDD_1C_1)$.

Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ должна удовлетворять двум условиям: принадлежать прямой $MK$ и принадлежать плоскости $A_1B_1C_1$.

Поскольку точка принадлежит прямой $MK$, она также лежит во вспомогательной плоскости $(CDD_1C_1)$. Так как она одновременно лежит и в плоскости $(A_1B_1C_1)$, то она должна находиться на линии пересечения этих двух плоскостей.

Плоскость $A_1B_1C_1$ является плоскостью верхнего основания призмы, которую можно обозначить как $(A_1B_1C_1D_1)$. Линией пересечения плоскости боковой грани $(CDD_1C_1)$ и плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$ является прямая $C_1D_1$.

Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямой $MK$ и прямой $C_1D_1$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(CDD_1C_1)$, следовательно, они пересекаются (если не параллельны, что является общим случаем). Для построения этой точки необходимо продолжить отрезки $MK$ и $C_1D_1$ до их пересечения.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $C_1D_1$. Построение заключается в проведении прямых через точки $M, K$ и $C_1, D_1$ и нахождении их общей точки.

15. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 4). Точка $D$ принадлежит прямой $A_1 B_1$, точка $E$ — ребру $AB$. Постройте сечение призмы плоскостью $CDE$.

Рис. 4

Для построения сечения призмы плоскостью $CDE$ выполним следующие шаги:

1. Нахождение линии пересечения с гранью $ABB_1A_1$

Точка $E$ по условию принадлежит ребру $AB$, а значит, и прямой $AB$. Точка $D$ принадлежит прямой $A_1B_1$. В призме прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны. Две параллельные прямые задают плоскость, которая в данном случае является плоскостью боковой грани $ABB_1A_1$.
Поскольку точки $D$ и $E$ лежат на прямых, принадлежащих плоскости $(ABB_1A_1)$, то и сами точки $D$ и $E$, а следовательно, и вся прямая $DE$ лежат в плоскости этой грани.
Прямая $DE$ является линией пересечения секущей плоскости $(CDE)$ с плоскостью грани $(ABB_1A_1)$. Чтобы найти сторону сечения на этой грани, найдем точки пересечения прямой $DE$ с ребрами четырехугольника $ABB_1A_1$. Одна точка пересечения — $E$ на ребре $AB$. Проведем прямую через точки $D$ и $E$ до пересечения с ребром $AA_1$. Обозначим эту точку пересечения $P$. Отрезок $PE$ — это сторона искомого сечения.

2. Нахождение линии пересечения с гранью $ACC_1A_1$

Теперь в плоскости грани $ACC_1A_1$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $C$ (вершина призмы) и точка $P$, полученная в предыдущем шаге на ребре $AA_1$. Соединив эти точки, получим отрезок $CP$, который является второй стороной сечения.

3. Нахождение линии пересечения с основанием $ABC$

В плоскости нижнего основания $(ABC)$ также есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $C$ (вершина призмы) и точка $E$ (на ребре $AB$). Соединив их, получим отрезок $CE$, который является третьей стороной сечения.

4. Построение итогового сечения

Соединив последовательно точки $P$, $E$ и $C$, мы получаем замкнутый треугольник $PCE$. Все его вершины лежат на ребрах призмы, а стороны — на ее гранях. Следовательно, треугольник $PCE$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $PCE$, где точка $P$ является точкой пересечения прямой $DE$ и ребра $AA_1$.

16. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 5) плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие рё- брам $SA$, $AC$ и $SB$ соответ- ственно.

Рис. 5

Для построения сечения тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки M, P и K, необходимо последовательно найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их отрезками, которые являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра.

1. Построение отрезков сечения в гранях SAC и SAB

Точки M и P лежат на рёбрах SA и AC соответственно. Оба этих ребра принадлежат грани SAC, следовательно, точки M и P лежат в плоскости этой грани. Соединим их отрезком. Отрезок MP является линией пересечения секущей плоскости с гранью SAC и одной из сторон искомого сечения.

Аналогично, точки M и K лежат на рёбрах SA и SB, которые принадлежат грани SAB. Следовательно, точки M и K лежат в плоскости грани SAB. Соединив их, получим отрезок MK — ещё одну сторону сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

Для дальнейшего построения найдём линию пересечения (след) секущей плоскости (MPK) с плоскостью основания (ABC). Одна точка этой линии уже известна — это точка P, так как она по условию лежит на ребре AC, которое находится в плоскости основания ($P \in (ABC)$), и принадлежит секущей плоскости.

Чтобы найти вторую точку следа, найдём точку пересечения какой-либо прямой, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью основания. Возьмём прямую MK, которая лежит в секущей плоскости. Прямая MK также лежит в плоскости грани SAB. Плоскость SAB и плоскость основания ABC пересекаются по прямой AB. Следовательно, прямая MK пересечёт плоскость (ABC) в точке, которая лежит на прямой AB.

Продлим отрезки MK и AB в плоскости (SAB) до их пересечения. Обозначим точку их пересечения буквой E. Таким образом, $E = MK \cap AB$.

Точка E принадлежит прямой MK, а значит и секущей плоскости (MPK). Также точка E принадлежит прямой AB, а значит и плоскости основания (ABC). Следовательно, прямая, проходящая через точки P и E, является следом секущей плоскости на плоскости основания.

3. Завершение построения сечения

Проведём прямую PE. Эта прямая пересекает ребро BC в некоторой точке. Обозначим эту точку Q. Таким образом, $Q = PE \cap BC$. Так как точка Q лежит на прямой PE, она принадлежит секущей плоскости. Так как Q лежит на ребре BC, она является вершиной сечения. Отрезок PQ является стороной сечения, лежащей в грани ABC.

Теперь у нас есть две точки, лежащие в плоскости грани SBC: точка K (на ребре SB) и точка Q (на ребре BC). Соединим их. Отрезок KQ является последней стороной искомого сечения и лежит в грани SBC.

Искомое сечение

В результате выполненных построений мы получили вершины сечения: M, K, Q, P. Последовательно соединяя эти точки, получаем четырёхугольник MKQP. Этот четырёхугольник и является искомым сечением тетраэдра.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник MKQP.

17. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 6) плоскостью, проходящей через точку $A$ и точки $E$ и $F$, которые лежат на рёбрах $BB_1$ и $B_1C_1$ соответственно.

Рис. 6

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $E$ и $F$, выполним следующие шаги:

1. Построение отрезков сечения на известных гранях

Точки $A$ и $E$ лежат в плоскости одной и той же боковой грани $AA_1B_1B$. Следовательно, отрезок $AE$ является стороной искомого сечения. Проводим этот отрезок.

Аналогично, точки $E$ и $F$ лежат в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Соединяем их отрезком $EF$, который также является стороной сечения.

2. Нахождение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью верхнего основания

Для нахождения остальных сторон сечения необходимо найти точки пересечения секущей плоскости с другими ребрами призмы. Для этого воспользуемся методом следов.

В плоскости грани $AA_1B_1B$ продлим прямую $AE$ и прямую $A_1B_1$ до их пересечения. Точку пересечения обозначим $Q$.

• Точка $Q$ принадлежит прямой $AE$, а значит, лежит в секущей плоскости $(AEF)$.
• Точка $Q$ принадлежит прямой $A_1B_1$, а значит, лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$.

Точка $F$ по условию принадлежит секущей плоскости и лежит на ребре $B_1C_1$, то есть также находится в плоскости верхнего основания. Таким образом, прямая $QF$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$.

3. Нахождение четвертой вершины сечения

Проводим прямую $QF$. Эта прямая лежит в плоскости верхнего основания и пересекает ребро $A_1C_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $G$.

Точка $G$ является четвертой вершиной искомого сечения, а отрезок $FG$ — его стороной, лежащей на грани верхнего основания $A_1B_1C_1$.

4. Завершение построения

На данном этапе мы имеем четыре вершины сечения: $A, E, F, G$. Точки $A$ и $G$ лежат в одной плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединяем их отрезком $AG$, получая последнюю сторону сечения.

В результате построен четырехугольник $AEFG$, который является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEFG$. Построение производится следующим образом: 1) проводятся отрезки $AE$ и $EF$, лежащие на гранях призмы; 2) находится вспомогательная точка $Q$ как точка пересечения прямых $AE$ и $A_1B_1$; 3) находится вершина $G$ как точка пересечения прямой $QF$ и ребра $A_1C_1$; 4) проводятся отрезки $FG$ и $GA$ для замыкания сечения.

18. Постройте сечение призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 7) плоскостью, проходящей через вершины $C$ и $D_1$ и точку $F$ ребра $AA_1$.

Рис. 7

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $C$, $D_1$ и $F$, где $F$ лежит на ребре $AA_1$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Построение следов секущей плоскости на гранях, содержащих заданные точки.

Поскольку точки $D_1$ и $C$ лежат в одной плоскости (плоскости грани $DCC_1D_1$), соединяем их отрезком. Отрезок $D_1C$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $DCC_1D_1$.
Аналогично, точки $D_1$ и $F$ лежат в одной плоскости (плоскости грани $ADD_1A_1$), поэтому соединяем их отрезком $D_1F$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ADD_1A_1$.

2. Построение следа на параллельной грани.

Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ призмы параллельны. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Мы уже знаем линию пересечения с гранью $DCC_1D_1$ — это прямая $D_1C$. Следовательно, линия пересечения с параллельной ей гранью $ABB_1A_1$ будет прямой, параллельной $D_1C$.
Точка $F$ принадлежит как секущей плоскости, так и грани $ABB_1A_1$. Поэтому в плоскости грани $ABB_1A_1$ через точку $F$ проводим прямую, параллельную $D_1C$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $E$. Отрезок $FE$ — это след секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.

3. Завершение построения сечения.

В результате предыдущих шагов мы получили четыре точки, принадлежащие секущей плоскости и лежащие на ребрах или в вершинах призмы: $F$, $E$, $C$ и $D_1$. Точки $E$ и $C$ лежат в одной плоскости (плоскости грани $BCC_1B_1$), поэтому их можно соединить. Отрезок $EC$ — это след секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.
Соединив последовательно точки $F \rightarrow E \rightarrow C \rightarrow D_1 \rightarrow F$, получаем четырехугольник $FECD_1$. Этот четырехугольник и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение призмы — четырехугольник $FECD_1$.