Номер 16, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 5) плоскостью, проходящей через точки $M$, $P$ и $K$, принадлежащие рё- брам $SA$, $AC$ и $SB$ соответ- ственно.

Рис. 5

Для построения сечения тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки M, P и K, необходимо последовательно найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их отрезками, которые являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями тетраэдра.

1. Построение отрезков сечения в гранях SAC и SAB

Точки M и P лежат на рёбрах SA и AC соответственно. Оба этих ребра принадлежат грани SAC, следовательно, точки M и P лежат в плоскости этой грани. Соединим их отрезком. Отрезок MP является линией пересечения секущей плоскости с гранью SAC и одной из сторон искомого сечения.

Аналогично, точки M и K лежат на рёбрах SA и SB, которые принадлежат грани SAB. Следовательно, точки M и K лежат в плоскости грани SAB. Соединив их, получим отрезок MK — ещё одну сторону сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

Для дальнейшего построения найдём линию пересечения (след) секущей плоскости (MPK) с плоскостью основания (ABC). Одна точка этой линии уже известна — это точка P, так как она по условию лежит на ребре AC, которое находится в плоскости основания ($P \in (ABC)$), и принадлежит секущей плоскости.

Чтобы найти вторую точку следа, найдём точку пересечения какой-либо прямой, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью основания. Возьмём прямую MK, которая лежит в секущей плоскости. Прямая MK также лежит в плоскости грани SAB. Плоскость SAB и плоскость основания ABC пересекаются по прямой AB. Следовательно, прямая MK пересечёт плоскость (ABC) в точке, которая лежит на прямой AB.

Продлим отрезки MK и AB в плоскости (SAB) до их пересечения. Обозначим точку их пересечения буквой E. Таким образом, $E = MK \cap AB$.

Точка E принадлежит прямой MK, а значит и секущей плоскости (MPK). Также точка E принадлежит прямой AB, а значит и плоскости основания (ABC). Следовательно, прямая, проходящая через точки P и E, является следом секущей плоскости на плоскости основания.

3. Завершение построения сечения

Проведём прямую PE. Эта прямая пересекает ребро BC в некоторой точке. Обозначим эту точку Q. Таким образом, $Q = PE \cap BC$. Так как точка Q лежит на прямой PE, она принадлежит секущей плоскости. Так как Q лежит на ребре BC, она является вершиной сечения. Отрезок PQ является стороной сечения, лежащей в грани ABC.

Теперь у нас есть две точки, лежащие в плоскости грани SBC: точка K (на ребре SB) и точка Q (на ребре BC). Соединим их. Отрезок KQ является последней стороной искомого сечения и лежит в грани SBC.

Искомое сечение

В результате выполненных построений мы получили вершины сечения: M, K, Q, P. Последовательно соединяя эти точки, получаем четырёхугольник MKQP. Этот четырёхугольник и является искомым сечением тетраэдра.

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник MKQP.