Номер 19, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 8).

Укажите его рёбра:

1) параллельные ребру $AD$;

2) скрещивающиеся с ребром $AD$.

Рис. 8

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) параллельные ребру AD;

Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе грани являются квадратами.

• Ребро $AD$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$. В этой плоскости ребру $AD$ параллельно противолежащее ребро $BC$, так как $ABCD$ — квадрат. Следовательно, $AD \parallel BC$.
• Ребро $AD$ также лежит в плоскости передней грани $ADD_1A_1$. В этой плоскости ребру $AD$ параллельно ребро $A_1D_1$, так как $ADD_1A_1$ — квадрат. Следовательно, $AD \parallel A_1D_1$.
• Ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $A_1D_1$ (так как они лежат в грани $A_1B_1C_1D_1$), которое, в свою очередь, параллельно $AD$. По свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, ребро $B_1C_1$ также параллельно ребру $AD$. Следовательно, $AD \parallel B_1C_1$.

Таким образом, ребру $AD$ параллельны три ребра куба.

Ответ: $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$.

2) скрещивающиеся с ребром AD.

Скрещивающимися называются прямые в пространстве, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Чтобы найти рёбра, скрещивающиеся с $AD$, необходимо из всех рёбер куба исключить те, которые пересекают ребро $AD$ или параллельны ему.

• Рёбра, параллельные $AD$: $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$ (найдены в пункте 1).
• Рёбра, пересекающие $AD$: это рёбра, имеющие с $AD$ общую вершину (вершину $A$ или $D$).
  • В вершине $A$ с ребром $AD$ пересекаются рёбра $AB$ и $AA_1$.
  • В вершине $D$ с ребром $AD$ пересекаются рёбра $DC$ и $DD_1$.

Всего у куба 12 рёбер. Исключим само ребро $AD$, 3 параллельных ему ребра и 4 пересекающихся с ним ребра. Оставшиеся рёбра будут скрещивающимися с $AD$.

Рёбра, которые остаются:

• Вертикальные рёбра, не имеющие общих вершин с $AD$: $BB_1$ и $CC_1$.
• Рёбра верхнего основания, не параллельные $AD$: $A_1B_1$ и $C_1D_1$.

Таким образом, с ребром $AD$ скрещиваются четыре ребра куба.

Ответ: $BB_1$, $CC_1$, $A_1B_1$, $C_1D_1$.