Номер 23, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Через конец A отрезка AB проведена плоскость $\alpha$, а через точку B — прямая, пересекающая плоскость $\alpha$ в точке $B_1$. Точка C принадлежит отрезку AB.

1) Постройте точку $C_1$ пересечения плоскости $\alpha$ с прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой $BB_1$.

2) Найдите отрезок $BB_1$, если $AB = 10$ см, $AC : CC_1 = 2 : 5$.

1) Постройте точку C₁ пересечения плоскости α с прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой BB₁.

Точки A, B и B₁ не лежат на одной прямой и, следовательно, задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость β.

Поскольку точки A и B принадлежат плоскости β, то и весь отрезок AB, а значит и точка C, принадлежащая этому отрезку, также лежит в плоскости β. Прямая BB₁ по построению тоже лежит в плоскости β.

Прямая, проходящая через точку C и параллельная прямой BB₁ (обозначим ее c), целиком лежит в той же плоскости β (так как она проходит через точку C ∈ β и параллельна прямой BB₁ ⊂ β).

Точка A и точка B₁ по условию принадлежат плоскости α. Следовательно, прямая AB₁ является линией пересечения плоскостей α и β.

Искомая точка C₁ является точкой пересечения прямой c и плоскости α. Так как прямая c лежит в плоскости β, то точка C₁ должна принадлежать линии пересечения плоскостей α и β, то есть прямой AB₁.

Таким образом, для построения точки C₁ необходимо в плоскости β (плоскости треугольника ABB₁) провести прямую через точку C параллельно BB₁. Точка пересечения этой прямой с прямой AB₁ и будет искомой точкой C₁.

Ответ: Точка C₁ является точкой пересечения прямой AB₁ и прямой, проходящей через точку C параллельно прямой BB₁.

2) Найдите отрезок BB₁, если AB = 10 см, AC : CC₁ = 2 : 5.

Рассмотрим треугольник ABB₁. Согласно построению из пункта 1, отрезок CC₁ параллелен отрезку BB₁ ($CC_1 \parallel BB_1$).

Поскольку $CC_1 \parallel BB_1$, то треугольник ACC₁ подобен треугольнику ABB₁ ($ \triangle ACC_1 \sim \triangle ABB_1 $) по двум углам:
1. $ \angle BAB_1 $ — общий.
2. $ \angle ACC_1 = \angle ABB_1 $ как соответственные углы при параллельных прямых CC₁ и BB₁ и секущей AB.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$ \frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1} $

По условию дано отношение $ AC : CC_1 = 2 : 5 $. Это можно записать в виде $ \frac{AC}{CC_1} = \frac{2}{5} $, откуда $ AC = \frac{2}{5} CC_1 $.

Подставим известные значения и соотношения в пропорцию:
$ \frac{\frac{2}{5} CC_1}{10} = \frac{CC_1}{BB_1} $

Так как длина отрезка $ CC_1 $ не равна нулю, обе части уравнения можно разделить на $ CC_1 $:
$ \frac{\frac{2}{5}}{10} = \frac{1}{BB_1} $
$ \frac{2}{5 \cdot 10} = \frac{1}{BB_1} $
$ \frac{2}{50} = \frac{1}{BB_1} $
$ \frac{1}{25} = \frac{1}{BB_1} $

Отсюда находим длину отрезка $ BB_1 $:
$ BB_1 = 25 $ см.

Ответ: 25 см.