Номер 24, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На отрезке $AB$, который не пересекает плоскость $α$, отметили точку $C$. Через точки $A$, $B$ и $C$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $α$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AC = 7$ см, $BC = 21$ см, $A_1C_1 = 12$ см.

1) Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

По условию, через точки A, B и C проведены параллельные прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Рассмотрим две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$. Согласно аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Назовем эту плоскость $\beta$.

Поскольку прямые $AA_1$ и $BB_1$ лежат в плоскости $\beta$, то все точки этих прямых, включая A, $A_1$, B и $B_1$, также лежат в плоскости $\beta$.

Точка C лежит на отрезке AB. Так как точки A и B принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая AB, а следовательно, и отрезок AB, принадлежит этой плоскости. Значит, точка C также лежит в плоскости $\beta$.

Прямая $CC_1$ проходит через точку C, лежащую в плоскости $\beta$, и параллельна прямой $AA_1$, которая также лежит в плоскости $\beta$. По следствию из аксиомы стереометрии, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Однако в нашем случае прямая $CC_1$ имеет общую точку C с плоскостью $\beta$. Если прямая, параллельная другой прямой, лежащей в плоскости, имеет с этой плоскостью общую точку, то она вся лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $CC_1$ лежит в плоскости $\beta$, и точка $C_1$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Таким образом, мы установили, что все три точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат в плоскости $\beta$.

По условию задачи, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ также лежат в плоскости $\alpha$.

Следовательно, точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ принадлежат одновременно двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения двух плоскостей - это прямая. Значит, все три точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок B₁C₁, если AC = 7 см, BC = 21 см, A₁C₁ = 12 см.

Рассмотрим две прямые, $AB$ и $A_1B_1$, которые пересекаются тремя параллельными прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если две прямые пересечены несколькими параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной прямой, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой прямой.

Для наших прямых $AB$ и $A_1B_1$ и параллельных прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ это означает, что выполняется соотношение:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1} $

Подставим в эту пропорцию известные значения из условия задачи:

$AC = 7$ см
$BC = 21$ см
$A_1C_1 = 12$ см

Получаем:

$ \frac{7}{21} = \frac{12}{B_1C_1} $

Сократим дробь в левой части уравнения:

$ \frac{1}{3} = \frac{12}{B_1C_1} $

Теперь выразим $B_1C_1$:

$ B_1C_1 = 12 \cdot 3 $

$ B_1C_1 = 36 $ см

Ответ: 36 см.