Номер 30, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Параллельность прямой и плоскости. Вариант 1. Упражнения - номер 30, страница 8.

Условие.

30. Через середину $M$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведена плоскость, которая параллельна прямой $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Докажите, что отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Решение.

Решение 2.

Дано:
Треугольник $ABC$.
$M$ — середина стороны $AB$ ($AM = MB$).
Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$.
Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$ ($\alpha \parallel AC$).
Плоскость $\alpha$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$.

Доказать:
Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

Доказательство:

Треугольник $ABC$ определяет единственную плоскость, обозначим ее $(ABC)$. Точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости $(ABC)$, так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Также, по условию, точки $M$ и $N$ принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $(ABC)$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$. Воспользуемся теоремой из стереометрии: если плоскость, параллельная некоторой прямой, пересекает другую плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна данной прямой. В нашем случае плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$, а плоскость $(ABC)$ содержит прямую $AC$ и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $MN$. Следовательно, прямая $MN$ параллельна прямой $AC$, то есть $MN \parallel AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ в его плоскости. Мы установили, что через середину стороны $AB$ (точку $M$) проходит прямая $MN$, параллельная стороне $AC$. Согласно теореме, обратной теореме о средней линии треугольника (или по следствию из теоремы Фалеса): если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна второй стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине. Применяя эту теорему к нашему треугольнику, мы заключаем, что точка $N$ является серединой стороны $BC$.

Таким образом, отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника $ABC$: стороны $AB$ (точка $M$) и стороны $BC$ (точка $N$). По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Следовательно, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.