Номер 36, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Постройте сечение пирамиды $SABC$ плоскостью, которая проходит через точки $D$ и $E$, принадлежащие соответственно рёбрам $SA$ и $SC$, и параллельна прямой $BC$.

Построение искомого сечения пирамиды $SABC$ выполняется в несколько шагов. Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$.

1. Так как точки $D$ и $E$ по условию принадлежат рёбрам $SA$ и $SC$ соответственно, они обе лежат в плоскости грани $SAC$. Поскольку эти точки также принадлежат секущей плоскости $\alpha$, то прямая, проходящая через точки $D$ и $E$, является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости грани $SAC$. Соединяем точки $D$ и $E$. Отрезок $DE$ — это одна из сторон искомого сечения.
2. Согласно условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BC$. Прямая $BC$ принадлежит плоскости грани $SBC$. По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($\alpha$) пересекает другую плоскость ($SBC$), содержащую прямую ($BC$), параллельную первой плоскости ($\alpha$), то линия их пересечения параллельна этой прямой ($BC$). Точка $E$ принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости грани $SBC$ (поскольку $E \in SC$). Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ и грани $SBC$ должна проходить через точку $E$ и быть параллельной $BC$. Проведём в плоскости грани $SBC$ через точку $E$ прямую, параллельную $BC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $SB$ обозначим $F$. Отрезок $EF$ — это вторая сторона искомого сечения.
3. Построенная точка $F$ лежит на ребре $SB$, а точка $D$ по условию лежит на ребре $SA$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $SAB$. Следовательно, отрезок $DF$ является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$. Соединяем точки $D$ и $F$. Отрезок $DF$ — третья сторона сечения.

Соединив последовательно точки $D, E, F$, получаем треугольник $DEF$. Этот треугольник и является искомым сечением пирамиды $SABC$.

Обоснование: построенная плоскость $(DEF)$ проходит через точки $D$ и $E$ по построению. Она также параллельна прямой $BC$, так как содержит прямую $EF$, которая по построению параллельна $BC$ ($EF \parallel BC$). Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $DEF$, где точка $F$ является точкой пересечения ребра $SB$ с прямой, проведённой в плоскости грани $SBC$ через точку $E$ параллельно прямой $BC$.