Страница 9 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Постройте сечение пирамиды $SABC$ плоскостью, которая проходит через точки $D$ и $E$, принадлежащие соответственно рёбрам $SA$ и $SC$, и параллельна прямой $BC$.

Построение искомого сечения пирамиды $SABC$ выполняется в несколько шагов. Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$.

1. Так как точки $D$ и $E$ по условию принадлежат рёбрам $SA$ и $SC$ соответственно, они обе лежат в плоскости грани $SAC$. Поскольку эти точки также принадлежат секущей плоскости $\alpha$, то прямая, проходящая через точки $D$ и $E$, является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости грани $SAC$. Соединяем точки $D$ и $E$. Отрезок $DE$ — это одна из сторон искомого сечения.
2. Согласно условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BC$. Прямая $BC$ принадлежит плоскости грани $SBC$. По свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($\alpha$) пересекает другую плоскость ($SBC$), содержащую прямую ($BC$), параллельную первой плоскости ($\alpha$), то линия их пересечения параллельна этой прямой ($BC$). Точка $E$ принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости грани $SBC$ (поскольку $E \in SC$). Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ и грани $SBC$ должна проходить через точку $E$ и быть параллельной $BC$. Проведём в плоскости грани $SBC$ через точку $E$ прямую, параллельную $BC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $SB$ обозначим $F$. Отрезок $EF$ — это вторая сторона искомого сечения.
3. Построенная точка $F$ лежит на ребре $SB$, а точка $D$ по условию лежит на ребре $SA$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $SAB$. Следовательно, отрезок $DF$ является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$. Соединяем точки $D$ и $F$. Отрезок $DF$ — третья сторона сечения.

Соединив последовательно точки $D, E, F$, получаем треугольник $DEF$. Этот треугольник и является искомым сечением пирамиды $SABC$.

Обоснование: построенная плоскость $(DEF)$ проходит через точки $D$ и $E$ по построению. Она также параллельна прямой $BC$, так как содержит прямую $EF$, которая по построению параллельна $BC$ ($EF \parallel BC$). Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $DEF$, где точка $F$ является точкой пересечения ребра $SB$ с прямой, проведённой в плоскости грани $SBC$ через точку $E$ параллельно прямой $BC$.

37. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания четырёхугольной призмы прямой, проходящей через две точки, одна из которых принадлежит боковому ребру призмы, а другая — боковой грани, которой это ребро не принадлежит.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью основания призмы воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Пусть дана четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Согласно условию, одна точка, назовем её $M$, принадлежит боковому ребру, например $AA_1$. Вторая точка, $N$, принадлежит боковой грани, которой ребро $AA_1$ не принадлежит, например, грани $BCC_1B_1$. Требуется построить точку $P$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

Алгоритм построения следующий:

1. Построение вспомогательной плоскости. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо заключить эту прямую во вспомогательную плоскость. Проведём через точку $N$ прямую, параллельную боковым рёбрам призмы (например, $BB_1$). Эта прямая будет лежать в плоскости грани $(BCC_1B_1)$. Найдём точку её пересечения с плоскостью нижнего основания. Эта точка, обозначим её $N_0$, будет лежать на ребре $BC$.

2. Определение вспомогательной плоскости. Прямые $AA_1$ и $NN_0$ параллельны по построению. Две параллельные прямые однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Так как $M \in AA_1$ и $N \in NN_0$, то вся прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.

3. Нахождение следа вспомогательной плоскости. Теперь найдём прямую, по которой вспомогательная плоскость $\alpha$ пересекается с плоскостью нижнего основания $(ABC)$. Эта прямая называется следом плоскости $\alpha$ на плоскости $(ABC)$. Для её построения достаточно найти две общие точки этих плоскостей.

   • Первая общая точка — $A$. Она принадлежит ребру $AA_1$, а значит, и плоскости $\alpha$. Также она является вершиной нижнего основания, поэтому $A \in (ABC)$.
   • Вторая общая точка — $N_0$. Она принадлежит прямой $NN_0$, а значит, и плоскости $\alpha$. По построению, $N_0 \in BC$, поэтому $N_0 \in (ABC)$.

   Следовательно, прямая $AN_0$ является следом плоскости $\alpha$ на плоскости $(ABC)$.

4. Построение искомой точки. Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$. Поскольку прямая $MN$ полностью лежит во вспомогательной плоскости $\alpha$, её точка пересечения с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $AN_0$. Таким образом, точка $P$ является точкой пересечения двух прямых: $MN$ и $AN_0$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$, поэтому они пересекутся (за исключением случая, когда они параллельны, что означало бы параллельность прямой $MN$ плоскости основания).

5. Строим прямую $MN$ и прямую $AN_0$. Точка их пересечения и есть искомая точка $P$.

Ответ: Искомая точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ и прямой $AN_0$, где $A$ — вершина нижнего основания, принадлежащая ребру с точкой $M$, а $N_0$ — точка пересечения с плоскостью нижнего основания прямой, проведённой через точку $N$ параллельно боковым рёбрам призмы.

38. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания треугольной призмы прямой, проходящей через две точки, принадлежащие двум разным боковым граням призмы.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей (методом следов).

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее основание. Пусть точка $M$ принадлежит боковой грани $AA_1B_1B$, а точка $N$ принадлежит боковой грани $BB_1C_1C$. Требуется построить точку $X$ – точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

1. Построение проекций точек M и N на плоскость нижнего основания.

Через точку $M$, принадлежащую грани $AA_1B_1B$, проведем прямую, параллельную боковому ребру призмы (например, $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $AB$ и будет являться проекцией точки $M$ на плоскость $(ABC)$. Обозначим эту точку $M_p$. Таким образом, $M_p$ – точка на отрезке $AB$ такая, что $MM_p \parallel AA_1$.

Аналогично, через точку $N$, принадлежащую грани $BB_1C_1C$, проведем прямую, параллельную боковому ребру $BB_1$. Точка пересечения этой прямой с ребром нижнего основания $BC$ будет проекцией точки $N$. Обозначим эту точку $N_p$. Таким образом, $N_p$ – точка на отрезке $BC$ такая, что $NN_p \parallel BB_1$.

2. Построение следа вспомогательной плоскости.

Так как прямые $MM_p$ и $NN_p$ параллельны (обе параллельны боковым ребрам призмы), то через них можно провести плоскость. Эта плоскость $(MNN_pM_p)$ является вспомогательной секущей плоскостью. Прямая $MN$ лежит в этой плоскости.

Прямая, по которой вспомогательная плоскость $(MNN_pM_p)$ пересекается с плоскостью нижнего основания $(ABC)$, называется следом. В данном случае след – это прямая, проходящая через точки $M_p$ и $N_p$, так как обе эти точки лежат в обеих плоскостях. Проведем прямую $M_p N_p$.

3. Нахождение искомой точки пересечения.

Искомая точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать как на прямой $MN$, так и в плоскости $(ABC)$.

Прямая $MN$ и прямая $M_p N_p$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(MNN_pM_p)$, следовательно, они пересекаются (за исключением случая, когда они параллельны, что означало бы, что прямая $MN$ параллельна плоскости основания).

Продлим прямую $MN$ и прямую $M_p N_p$ до их пересечения. Точку их пересечения обозначим $X$.

Точка $X$ принадлежит прямой $MN$ по построению. Точка $X$ также принадлежит прямой $M_p N_p$, а так как прямая $M_p N_p$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$, то и точка $X$ лежит в плоскости $(ABC)$.

Следовательно, точка $X$ является искомой точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания призмы.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямой $MN$ и прямой $M_p N_p$, где $M_p$ и $N_p$ – это проекции точек $M$ и $N$ на плоскость нижнего основания $(ABC)$ параллельно боковым ребрам призмы.

Параллельность плоскостей

39. Стороны $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ параллельны плоскости $\alpha$. Докажите, что прямая $AC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Дано:

Дан параллелограмм $ABCD$. Стороны $AB$ и $AD$ параллельны некоторой плоскости $\alpha$. То есть, $AB \parallel \alpha$ и $AD \parallel \alpha$.

Доказать:

Прямая $AC$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $AC \parallel \alpha$.

Доказательство:

1. Стороны параллелограмма $AB$ и $AD$ пересекаются в вершине $A$. Через две пересекающиеся прямые, согласно аксиоме стереометрии, проходит плоскость, и притом только одна. Эта плоскость содержит весь параллелограмм $ABCD$. Обозначим эту плоскость как $(ABC)$.

2. Воспользуемся признаком параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. В нашей задаче все условия этого признака выполнены: прямые $AB$ и $AD$ пересекаются в точке $A$, обе лежат в плоскости $(ABC)$ и, по условию, обе параллельны плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $\alpha$: $(ABC) \parallel \alpha$.

4. Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ соединяет вершины $A$ и $C$, которые лежат в плоскости $(ABC)$. Значит, вся прямая $AC$ принадлежит плоскости $(ABC)$ ($AC \subset (ABC)$).

5. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек. Так как плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $\alpha$, то любая прямая, лежащая в плоскости $(ABC)$, не может пересечь плоскость $\alpha$. Следовательно, прямая $AC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

40. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $M$ и $N$, а в плоскости $\beta$ — точки $M_1$ и $N_1$ такие, что прямые $MM_1$ и $NN_1$ параллельны. Найдите отрезки $NN_1$ и $M_1N_1$, если $MN = 5$ см, $MM_1 = 6$ см.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $). В плоскости $ \alpha $ лежат точки $ M $ и $ N $, а в плоскости $ \beta $ — точки $ M_1 $ и $ N_1 $. Прямые $ MM_1 $ и $ NN_1 $ параллельны ($ MM_1 \parallel NN_1 $).

1. Нахождение длины отрезка $ NN_1 $.

Отрезки $ MM_1 $ и $ NN_1 $ являются отрезками параллельных прямых, которые заключены между двумя параллельными плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $. Согласно свойству параллельных плоскостей, такие отрезки равны между собой.

Следовательно, $ NN_1 = MM_1 $.

Так как по условию $ MM_1 = 6 $ см, то $ NN_1 = 6 $ см.

2. Нахождение длины отрезка $ M_1N_1 $.

Рассмотрим четырехугольник $ MNN_1M_1 $. Поскольку прямые $ MM_1 $ и $ NN_1 $ параллельны, они задают единственную плоскость, в которой лежат все четыре точки $ M, N, M_1, N_1 $.

В этом четырехугольнике одна пара противоположных сторон, $ MM_1 $ и $ NN_1 $, параллельна по условию.

Другая пара сторон, $ MN $ и $ M_1N_1 $, лежит на прямых пересечения этой плоскости с параллельными плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. Таким образом, $ MN \parallel M_1N_1 $.

Поскольку в четырехугольнике $ MNN_1M_1 $ противоположные стороны попарно параллельны ($ MM_1 \parallel NN_1 $ и $ MN \parallel M_1N_1 $), то этот четырехугольник является параллелограммом.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $ M_1N_1 = MN $.

Так как по условию $ MN = 5 $ см, то $ M_1N_1 = 5 $ см.

Ответ: $ NN_1 = 6 $ см, $ M_1N_1 = 5 $ см.

41. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, $A \in \alpha$, $B \in \alpha$, $C \in \beta$, $D \in \beta$, $AC \parallel BD$, $CD = 3\sqrt{2}$ см, $BD = 4$ см, $\angle ABD = 135^\circ$. Найдите отрезок $AD$.

Поскольку по условию плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α || β$), а отрезки $AC$ и $BD$ также параллельны ($AC || BD$), то эти отрезки определяют плоскость $γ$, в которой они лежат.

Плоскость $γ$ пересекает параллельные плоскости $α$ и $β$. Линиями пересечения являются прямые $AB$ (так как точки $A$ и $B$ лежат в $α$) и $CD$ (так как точки $C$ и $D$ лежат в $β$). По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB || CD$).

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. У него противолежащие стороны попарно параллельны: $AB || CD$ (что мы доказали) и $AC || BD$ (по условию). Таким образом, $ABDC$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны. Значит, $AB = CD$. Из условия известно, что $CD = 3\sqrt{2}$ см, следовательно, $AB = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы ищем сторону $AD$. Нам известны две другие стороны этого треугольника и угол между ними:

• $AB = 3\sqrt{2}$ см
• $BD = 4$ см
• $\angle ABD = 135^{\circ}$

Для нахождения длины стороны $AD$ применим теорему косинусов: $AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABD)$

Подставим известные значения в формулу: $AD^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(135^{\circ})$

Вычислим значение косинуса угла $135^{\circ}$: $\cos(135^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение косинуса в уравнение и выполним вычисления: $AD^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$AD^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$AD^2 = 34 + \frac{24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$
$AD^2 = 34 + \frac{24 \cdot 2}{2}$
$AD^2 = 34 + 24$
$AD^2 = 58$

Отсюда находим длину отрезка $AD$: $AD = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.

42. Медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\alpha$. Через точки $A$ и $B$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм.

По условию задачи, медианы $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\alpha$. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке (называемой центроидом). Таким образом, $AM$ и $CK$ — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости треугольника $(ABC)$.

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае прямые $AM$ и $CK$ лежат в плоскости $(ABC)$, пересекаются и каждая из них параллельна плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. По условию, через точки $A$ и $B$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $B_1$. Это означает, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ лежат на параллельных прямых, то есть $AA_1 \parallel BB_1$.

Мы доказали, что плоскость $(ABC)$ параллельна плоскости $\alpha$. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $(ABC)$, а точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются отрезками параллельных прямых, заключенными между двумя параллельными плоскостями. По свойству параллельных плоскостей, такие отрезки равны между собой. Таким образом, $AA_1 = BB_1$.

В четырехугольнике $AA_1B_1B$ противоположные стороны $AA_1$ и $BB_1$ одновременно параллельны ($AA_1 \parallel BB_1$) и равны ($AA_1 = BB_1$). Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $AA_1B_1B$ является параллелограммом.

43. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите отрезок $A_1B_1$, если $A_1C = 9$ см, $AA_1 = 3$ см, $AB = 8$ см.

По условию задачи, сторона $AB$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$), пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C$.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, и они пересекаются третьей плоскостью (плоскостью треугольника $ABC$), то линии их пересечения параллельны. Линия пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $AB$. Линия пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\beta$ — это прямая $A_1B_1$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.

Поскольку прямая $A_1B_1$ параллельна стороне $AB$, то треугольник $\triangle A_1B_1C$ подобен треугольнику $\triangle ABC$. Подобие доказывается по двум углам:

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle CA_1B_1$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $AB$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Найдем длину стороны $AC$. Так как точка $A_1$ лежит на отрезке $AC$, то длина $AC$ равна сумме длин отрезков $AA_1$ и $A_1C$.

$AC = AA_1 + A_1C$

Из условия задачи нам известно, что $A_1C = 9$ см и $AA_1 = 3$ см. Подставим эти значения:

$AC = 3 \text{ см} + 9 \text{ см} = 12 \text{ см}$

Теперь воспользуемся пропорцией для нахождения длины отрезка $A_1B_1$. Нам также известно, что $AB = 8$ см.

$\frac{A_1C}{AC} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{9}{12} = \frac{A_1B_1}{8}$

Выразим $A_1B_1$ из этой пропорции:

$A_1B_1 = 8 \cdot \frac{9}{12}$

Сократим дробь $\frac{9}{12}$ на 3, получим $\frac{3}{4}$:

$A_1B_1 = 8 \cdot \frac{3}{4} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

44. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Прямые $a$ и $b$ принадлежат плоскостям $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Через прямую $a$ проведена плоскость, пересекающая плоскость $\beta$ по прямой $c$, которая параллельна прямой $b$. Докажите, что $a \parallel b$.

Дано:
Плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \| β$).
Прямая $a$ принадлежит плоскости $α$ ($a \subset α$).
Прямая $b$ принадлежит плоскости $β$ ($b \subset β$).
Через прямую $a$ проведена плоскость, назовем ее $γ$, такая что $a \subset γ$.
Плоскость $γ$ пересекает плоскость $β$ по прямой $c$, то есть $γ \cap β = c$.
Прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \| b$).

Доказать:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \| b$).

Доказательство:
1. Рассмотрим плоскость $γ$, которая проходит через прямую $a$. По условию, прямая $a$ также лежит в плоскости $α$ ($a \subset α$). Таким образом, прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $α$ и $γ$, то есть $a = α \cap γ$.
2. По условию, плоскость $γ$ пересекает плоскость $β$ по прямой $c$, то есть $c = β \cap γ$.
3. Из условия задачи известно, что плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \| β$).
4. Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. В данном случае, параллельные плоскости $α$ и $β$ пересекаются плоскостью $γ$ по прямым $a$ и $c$ соответственно. Следовательно, прямые $a$ и $c$ параллельны: $a \| c$.
5. По условию нам дано, что прямая $c$ параллельна прямой $b$: $c \| b$.
6. Мы получили, что $a \| c$ и $c \| b$. По теореме о параллельности трех прямых (свойство транзитивности параллельности прямых в пространстве), если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Отсюда следует, что $a \| b$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $a$ и $b$ параллельны.