Страница 15 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Через точки $A$ и $B$, не принадлежащие плоскости $\alpha$, проведены прямые, перпендикулярные этой плоскости и пересекающие её в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что если прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны, то четырёхугольник $AA_1B_1B$ — прямоугольник.

Для доказательства того, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ является прямоугольником, необходимо показать, что это параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол.

Доказательство:

1. По условию, прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ ($AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$). Согласно свойству, если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны друг другу. Следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$.
2. Так как через две параллельные прямые ($AA_1$ и $BB_1$) проходит единственная плоскость, то точки $A$, $A_1$, $B_1$ и $B$ лежат в этой плоскости. Это означает, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ является плоской фигурой.
3. Рассмотрим четырёхугольник $AA_1B_1B$. Мы установили, что одна пара его противолежащих сторон параллельна: $AA_1 \parallel BB_1$. По условию задачи, другая пара противолежащих сторон также параллельна: $AB \parallel A_1B_1$.
4. По определению, четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $AA_1B_1B$ — это параллелограмм.
5. По условию, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, так как точки $A_1$ и $B_1$ принадлежат этой плоскости. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $A_1B_1$, то есть $AA_1 \perp A_1B_1$.
6. Из перпендикулярности прямых $AA_1$ и $A_1B_1$ следует, что угол между ними равен $90^\circ$. То есть, $\angle AA_1B_1 = 90^\circ$.
7. Мы доказали, что $AA_1B_1B$ — это параллелограмм, и у него есть прямой угол ($\angle AA_1B_1$). Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Следовательно, четырёхугольник $AA_1B_1B$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при выполнении условий задачи четырёхугольник $AA_1B_1B$ является прямоугольником.

77. Через вершину $A$ равностороннего треугольника $ABC$ проведена прямая $AD$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Через центр $O$ треугольника проведена прямая $FO$, параллельная $AD$. Найдите расстояние от точки $F$ до вершин треугольника, если $OF = 6$ см и $BC = 8\sqrt{3}$ см.

Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, а прямая $FO$ параллельна $AD$, то по свойству параллельных прямых и плоскостей прямая $FO$ также перпендикулярна плоскости $ABC$.

Это означает, что отрезок $FO$ перпендикулярен любому отрезку, лежащему в плоскости $ABC$ и проходящему через точку $O$. В частности, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ перпендикулярны $FO$. Следовательно, треугольники $\triangle FOA$, $\triangle FOB$ и $\triangle FOC$ являются прямоугольными, где $\angle FOA = \angle FOB = \angle FOC = 90^\circ$.

Расстояния от точки $F$ до вершин треугольника $A, B, C$ — это длины гипотенуз $FA, FB$ и $FC$ в этих прямоугольных треугольниках.

Найдем длины катетов $OA, OB, OC$. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, то его центр $O$ является центром описанной окружности. Расстояния от центра до вершин равны радиусу $R$ этой окружности. Сторона треугольника $a = BC = 8\sqrt{3}$ см.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a$:

$R = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Таким образом, $OA = OB = OC = 8$ см.

Теперь по теореме Пифагора найдем длины гипотенуз $FA, FB$ и $FC$. Нам известно, что катет $OF = 6$ см.

Для $\triangle FOA$:

$FA^2 = FO^2 + OA^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$FA = \sqrt{100} = 10$ см.

Так как $OA = OB = OC$, то и гипотенузы будут равны:

$FA = FB = FC = 10$ см.

Ответ: расстояние от точки $F$ до каждой из вершин треугольника равно 10 см.

78. Через центр $O$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $OM$, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно стороне квадрата. Найдите угол между прямыми $ME$ и $AC$, где точка $E$ — середина стороны $AB$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы центр квадрата $ABCD$ совпадал с началом координат $O(0, 0, 0)$. Плоскость квадрата пусть будет плоскостью $Oxy$. Поскольку прямая $OM$ перпендикулярна плоскости квадрата, она будет совпадать с осью $Oz$.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда вершины квадрата будут иметь следующие координаты: $A(-a/2, -a/2, 0)$, $B(a/2, -a/2, 0)$, $C(a/2, a/2, 0)$ и $D(-a/2, a/2, 0)$.

Точка $E$ является серединой стороны $AB$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$:
$E = (\frac{-a/2 + a/2}{2}, \frac{-a/2 - a/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, -a/2, 0)$.

Точка $M$ лежит на оси $Oz$, следовательно, ее координаты $M(0, 0, z_M)$. По условию задачи, расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно стороне квадрата, то есть $MA = a$. Используем формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти $z_M$:
$MA^2 = (0 - (-a/2))^2 + (0 - (-a/2))^2 + (z_M - 0)^2 = a^2$
$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + z_M^2 = a^2$
$\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + z_M^2 = a^2$
$\frac{a^2}{2} + z_M^2 = a^2$
$z_M^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$
$z_M = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (будем рассматривать случай $z_M > 0$, так как это не влияет на величину угла).
Таким образом, координаты точки $M$ равны $(0, 0, \frac{a}{\sqrt{2}})$.

Угол между скрещивающимися прямыми $ME$ и $AC$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем эти векторы:
Для прямой $AC$: $\vec{AC} = C - A = (a/2 - (-a/2), a/2 - (-a/2), 0 - 0) = (a, a, 0)$. В качестве направляющего вектора $\vec{u}$ можно взять коллинеарный ему вектор $(1, 1, 0)$.
Для прямой $ME$: $\vec{ME} = E - M = (0 - 0, -a/2 - 0, 0 - \frac{a}{\sqrt{2}}) = (0, -a/2, - \frac{a}{\sqrt{2}})$. В качестве направляющего вектора $\vec{v}$ можно взять коллинеарный ему вектор $(0, 1, \sqrt{2})$ (получен умножением на $-\frac{2}{a}$).

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по формуле скалярного произведения:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
Скалярное произведение: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{2} = 1$.
Модули векторов:
$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$
Подставляем найденные значения в формулу косинуса:
$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$
Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{6})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{6})$

Перпендикуляр и наклонная

79. На рисунке 25 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $B_1D$ на плоскость: 1) $ABC$; 2) $ABB_1$; 3) $BCC_1$.

Рис. 25

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, который соединяет проекции его концов на эту плоскость. Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка уже лежит в плоскости, её проекция совпадает с самой точкой.

Рассмотрим отрезок $B_1D$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) на плоскость ABC

Чтобы найти проекцию отрезка $B_1D$ на плоскость $ABC$, найдем проекции его конечных точек $B_1$ и $D$.

Проекция точки $B_1$ на плоскость $ABC$: Ребро $BB_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, точка $B$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $B_1$ на плоскость $ABC$. Таким образом, проекция точки $B_1$ — это точка $B$.

Проекция точки $D$ на плоскость $ABC$: Точка $D$ уже принадлежит плоскости $ABC$, поэтому ее проекция — это сама точка $D$.

Соединив проекции концов отрезка, получаем, что проекцией отрезка $B_1D$ на плоскость $ABC$ является отрезок $BD$.

Ответ: $BD$.

2) на плоскость ABB₁

Найдем проекции точек $B_1$ и $D$ на плоскость грани $ABB_1A_1$ (обозначена как $ABB_1$).

Проекция точки $B_1$ на плоскость $ABB_1$: Точка $B_1$ принадлежит этой плоскости, значит, ее проекция — это сама точка $B_1$.

Проекция точки $D$ на плоскость $ABB_1$: В кубе ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$ (так как $ABCD$ — квадрат). Также ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AA_1$ (так как $ADD_1A_1$ — квадрат). Поскольку $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AA_1$) в плоскости $ABB_1$, то $AD$ перпендикулярно всей плоскости $ABB_1$. Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $ABB_1$ является точка $A$.

Соединив проекции, получаем, что проекцией отрезка $B_1D$ на плоскость $ABB_1$ является отрезок $AB_1$.

Ответ: $AB_1$.

3) на плоскость BCC₁

Найдем проекции точек $B_1$ и $D$ на плоскость грани $BCC_1B_1$ (обозначена как $BCC_1$).

Проекция точки $B_1$ на плоскость $BCC_1$: Точка $B_1$ принадлежит этой плоскости, поэтому ее проекция — это сама точка $B_1$.

Проекция точки $D$ на плоскость $BCC_1$: В кубе ребро $CD$ перпендикулярно ребру $BC$ ($ABCD$ — квадрат) и ребру $CC_1$ ($CDD_1C_1$ — квадрат). Так как $CD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CC_1$) в плоскости $BCC_1$, то $CD$ перпендикулярно всей плоскости $BCC_1$. Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BCC_1$ является точка $C$.

Соединив проекции, получаем, что проекцией отрезка $B_1D$ на плоскость $BCC_1$ является отрезок $B_1C$.

Ответ: $B_1C$.

80. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 9 см и наклонная длиной 11 см. Найдите длину проекции этой наклонной на данную плоскость.

Пусть из точки A к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр AB и наклонная AC. По условию задачи, длина перпендикуляра $AB = 9$ см, а длина наклонной $AC = 11$ см.

Проекцией наклонной AC на плоскость $\alpha$ является отрезок BC, который соединяет основание перпендикуляра (точка B) и основание наклонной (точка C).

Перпендикуляр, наклонная и её проекция на плоскость образуют прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, где:

• $\angle B = 90^\circ$ (так как AB перпендикулярен плоскости $\alpha$);
• AB — катет (длина перпендикуляра);
• AC — гипотенуза (длина наклонной);
• BC — катет (длина проекции).

Для нахождения длины проекции BC воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Выразим из этой формулы неизвестный катет BC:

$BC^2 = AC^2 - AB^2$

Подставим известные значения длин:

$BC^2 = 11^2 - 9^2$

$BC^2 = 121 - 81$

$BC^2 = 40$

Теперь найдем длину BC, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

81. Из точки К плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина наклонной равна 8 см, а угол между ней и перпендикуляром равен $60^\circ$. Найдите длины перпендикуляра и проекции наклонной на данную плоскость.

Пусть из некоторой точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Они вместе с проекцией наклонной на эту плоскость образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• гипотенуза — это наклонная;
• один катет — это перпендикуляр;
• второй катет — это проекция наклонной.

По условию, длина наклонной (гипотенузы) равна 8 см. Угол между наклонной и перпендикуляром (т.е. угол между гипотенузой и одним из катетов) равен $60^\circ$.

Найдём длину перпендикуляра

Длина перпендикуляра — это катет, прилежащий к углу $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике прилежащий катет равен произведению гипотенузы на косинус этого угла.

Длина перпендикуляра $= 8 \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

Длина перпендикуляра $= 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Найдём длину проекции наклонной

Длина проекции наклонной — это катет, противолежащий углу $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике противолежащий катет равен произведению гипотенузы на синус этого угла.

Длина проекции $= 8 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

Длина проекции $= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

82. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AD$, длины которых равны $17$ см и $10$ см соответственно. Найдите проекцию наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$, если проекция наклонной $AB$ равна $15$ см.

Пусть из точки $A$ на плоскость $\alpha$ опущен перпендикуляр $AH$. Тогда отрезок $AH$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Отрезки $HB$ и $HD$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AD$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Наклонная, ее проекция и перпендикуляр, проведенные из одной и той же точки, образуют прямоугольный треугольник. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHD$, где катет $AH$ является общим.

1. Найдем длину перпендикуляра AH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). В нем:
• $AB$ — гипотенуза, $AB = 17$ см.
• $HB$ — катет (проекция), $HB = 15$ см.
• $AH$ — катет (перпендикуляр).

По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + HB^2$.
Отсюда найдем квадрат длины перпендикуляра $AH$:
$AH^2 = AB^2 - HB^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$ см$^2$.
$AH = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Найдем проекцию наклонной AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHD$ (где $\angle AHD = 90^\circ$). В нем:
• $AD$ — гипотенуза, $AD = 10$ см.
• $AH$ — катет, $AH = 8$ см (найдено в предыдущем шаге).
• $HD$ — катет (искомая проекция).

По теореме Пифагора: $AD^2 = AH^2 + HD^2$.
Отсюда найдем квадрат длины проекции $HD$:
$HD^2 = AD^2 - AH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$ см$^2$.
$HD = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

83. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AC$ и $AD$ и перпендикуляр $AB$. Найдите проекции наклонных на плоскость $\alpha$, если $AC = 8 \text{ см}$, $\angle CAB = 60^\circ$, $\angle DAB = 45^\circ$.

По условию задачи, AB — перпендикуляр, проведенный из точки A к плоскости α. AC и AD — наклонные. Следовательно, отрезки BC и BD являются проекциями наклонных AC и AD на плоскость α соответственно.

Поскольку AB перпендикулярен плоскости α, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B. Таким образом, треугольники ABC и ABD являются прямоугольными с прямым углом при вершине B.

Нахождение проекции наклонной AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC ($ \angle B = 90^\circ $). В нем известны:

• гипотенуза $ AC = 8 $ см,
• угол между наклонной и перпендикуляром $ \angle CAB = 60^\circ $.

Проекция BC является катетом, противолежащим углу $ \angle CAB $. Длина катета, противолежащего углу, равна произведению гипотенузы на синус этого угла.

$ BC = AC \cdot \sin(\angle CAB) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} $ см.

Ответ: $ 4\sqrt{3} $ см.

Нахождение проекции наклонной AD

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($ \angle B = 90^\circ $). В нем известен угол между наклонной AD и перпендикуляром AB: $ \angle DAB = 45^\circ $.

Для нахождения проекции BD (катет) нам необходима длина второго катета AB, который является общим для обоих треугольников. Найдем длину перпендикуляра AB из треугольника ABC. AB — катет, прилежащий к углу $ \angle CAB $.

$ AB = AC \cdot \cos(\angle CAB) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике ABD мы знаем катет $ AB = 4 $ см. Проекция BD является катетом, противолежащим углу $ \angle DAB $. Найдем его длину, используя тангенс угла, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$ \tan(\angle DAB) = \frac{BD}{AB} $

$ BD = AB \cdot \tan(\angle DAB) = 4 \cdot \tan(45^\circ) = 4 \cdot 1 = 4 $ см.

Ответ: 4 см.