Номер 78, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Через центр $O$ квадрата $ABCD$ проведена прямая $OM$, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно стороне квадрата. Найдите угол между прямыми $ME$ и $AC$, где точка $E$ — середина стороны $AB$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы центр квадрата $ABCD$ совпадал с началом координат $O(0, 0, 0)$. Плоскость квадрата пусть будет плоскостью $Oxy$. Поскольку прямая $OM$ перпендикулярна плоскости квадрата, она будет совпадать с осью $Oz$.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда вершины квадрата будут иметь следующие координаты: $A(-a/2, -a/2, 0)$, $B(a/2, -a/2, 0)$, $C(a/2, a/2, 0)$ и $D(-a/2, a/2, 0)$.

Точка $E$ является серединой стороны $AB$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$:
$E = (\frac{-a/2 + a/2}{2}, \frac{-a/2 - a/2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, -a/2, 0)$.

Точка $M$ лежит на оси $Oz$, следовательно, ее координаты $M(0, 0, z_M)$. По условию задачи, расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно стороне квадрата, то есть $MA = a$. Используем формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти $z_M$:
$MA^2 = (0 - (-a/2))^2 + (0 - (-a/2))^2 + (z_M - 0)^2 = a^2$
$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + z_M^2 = a^2$
$\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + z_M^2 = a^2$
$\frac{a^2}{2} + z_M^2 = a^2$
$z_M^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$
$z_M = \frac{a}{\sqrt{2}}$ (будем рассматривать случай $z_M > 0$, так как это не влияет на величину угла).
Таким образом, координаты точки $M$ равны $(0, 0, \frac{a}{\sqrt{2}})$.

Угол между скрещивающимися прямыми $ME$ и $AC$ равен углу между их направляющими векторами. Найдем эти векторы:
Для прямой $AC$: $\vec{AC} = C - A = (a/2 - (-a/2), a/2 - (-a/2), 0 - 0) = (a, a, 0)$. В качестве направляющего вектора $\vec{u}$ можно взять коллинеарный ему вектор $(1, 1, 0)$.
Для прямой $ME$: $\vec{ME} = E - M = (0 - 0, -a/2 - 0, 0 - \frac{a}{\sqrt{2}}) = (0, -a/2, - \frac{a}{\sqrt{2}})$. В качестве направляющего вектора $\vec{v}$ можно взять коллинеарный ему вектор $(0, 1, \sqrt{2})$ (получен умножением на $-\frac{2}{a}$).

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по формуле скалярного произведения:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
Скалярное произведение: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{2} = 1$.
Модули векторов:
$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$
Подставляем найденные значения в формулу косинуса:
$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$
Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{6})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{6})$