Номер 76, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Через точки $A$ и $B$, не принадлежащие плоскости $\alpha$, проведены прямые, перпендикулярные этой плоскости и пересекающие её в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что если прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны, то четырёхугольник $AA_1B_1B$ — прямоугольник.

Для доказательства того, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ является прямоугольником, необходимо показать, что это параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол.

Доказательство:

1. По условию, прямые $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$ ($AA_1 \perp \alpha$ и $BB_1 \perp \alpha$). Согласно свойству, если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны друг другу. Следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$.
2. Так как через две параллельные прямые ($AA_1$ и $BB_1$) проходит единственная плоскость, то точки $A$, $A_1$, $B_1$ и $B$ лежат в этой плоскости. Это означает, что четырёхугольник $AA_1B_1B$ является плоской фигурой.
3. Рассмотрим четырёхугольник $AA_1B_1B$. Мы установили, что одна пара его противолежащих сторон параллельна: $AA_1 \parallel BB_1$. По условию задачи, другая пара противолежащих сторон также параллельна: $AB \parallel A_1B_1$.
4. По определению, четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $AA_1B_1B$ — это параллелограмм.
5. По условию, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$, так как точки $A_1$ и $B_1$ принадлежат этой плоскости. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $A_1B_1$, то есть $AA_1 \perp A_1B_1$.
6. Из перпендикулярности прямых $AA_1$ и $A_1B_1$ следует, что угол между ними равен $90^\circ$. То есть, $\angle AA_1B_1 = 90^\circ$.
7. Мы доказали, что $AA_1B_1B$ — это параллелограмм, и у него есть прямой угол ($\angle AA_1B_1$). Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Следовательно, четырёхугольник $AA_1B_1B$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при выполнении условий задачи четырёхугольник $AA_1B_1B$ является прямоугольником.