Номер 80, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикуляр и наклонная. Вариант 1. Упражнения - номер 80, страница 15.

Условие.

80. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 9 см и наклонная длиной 11 см. Найдите длину проекции этой наклонной на данную плоскость.

Решение.

Решение 2.

Пусть из точки A к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр AB и наклонная AC. По условию задачи, длина перпендикуляра $AB = 9$ см, а длина наклонной $AC = 11$ см.

Проекцией наклонной AC на плоскость $\alpha$ является отрезок BC, который соединяет основание перпендикуляра (точка B) и основание наклонной (точка C).

Перпендикуляр, наклонная и её проекция на плоскость образуют прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, где:

• $\angle B = 90^\circ$ (так как AB перпендикулярен плоскости $\alpha$);
• AB — катет (длина перпендикуляра);
• AC — гипотенуза (длина наклонной);
• BC — катет (длина проекции).

Для нахождения длины проекции BC воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Выразим из этой формулы неизвестный катет BC:

$BC^2 = AC^2 - AB^2$

Подставим известные значения длин:

$BC^2 = 11^2 - 9^2$

$BC^2 = 121 - 81$

$BC^2 = 40$

Теперь найдем длину BC, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.