Номер 84, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$ длиной 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как $9 : 16$.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра $AH$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Обозначим $AH = h$.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости, то треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

По условию задачи даны длины наклонных:

$AB = 15$ см

$AC = 20$ см

Применим теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$:

$AB^2 = AH^2 + HB^2 \implies 15^2 = h^2 + HB^2 \implies 225 = h^2 + HB^2$ (1)

$AC^2 = AH^2 + HC^2 \implies 20^2 = h^2 + HC^2 \implies 400 = h^2 + HC^2$ (2)

Также из условия известно, что проекции наклонных относятся как $9 : 16$:

$\frac{HB}{HC} = \frac{9}{16}$

Введем коэффициент пропорциональности $k$, где $k > 0$. Тогда длины проекций можно записать как:

$HB = 9k$

$HC = 16k$

Подставим эти выражения в уравнения (1) и (2), получим систему уравнений:

$\begin{cases} 225 = h^2 + (9k)^2 \\ 400 = h^2 + (16k)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 225 = h^2 + 81k^2 \\ 400 = h^2 + 256k^2 \end{cases}$

Выразим $h^2$ из первого уравнения и подставим во второе. Из первого уравнения: $h^2 = 225 - 81k^2$.

Подставляем во второе уравнение:

$400 = (225 - 81k^2) + 256k^2$

$400 = 225 + 175k^2$

$400 - 225 = 175k^2$

$175 = 175k^2$

$k^2 = 1$

Так как $k > 0$, то $k = 1$.

Теперь найдем $h$. Подставим значение $k^2 = 1$ в выражение для $h^2$:

$h^2 = 225 - 81k^2 = 225 - 81(1) = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$

Таким образом, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.