Номер 88, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Точка M равноудалена от вершин правильного шестиугольника и находится на расстоянии 4 см от его плоскости. Найдите расстояние от точки M до вершин шестиугольника, если радиус окружности, вписанной в шестиугольник, равен 6 см.

Пусть дан правильный шестиугольник, центр которого находится в точке $O$. Точка $M$ расположена вне плоскости шестиугольника.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника, ее проекция на плоскость шестиугольника совпадает с центром описанной (и вписанной) окружности этого шестиугольника, то есть с точкой $O$.

Расстояние от точки $M$ до плоскости шестиугольника — это длина перпендикуляра $MO$. Согласно условию, $MO = 4$ см.

Расстояние от точки $M$ до любой вершины шестиугольника, например до вершины $A$, является длиной отрезка $MA$. Отрезки $MO$ (перпендикуляр к плоскости), $OA$ (проекция наклонной $MA$ на плоскость) и $MA$ (наклонная) образуют прямоугольный треугольник $\triangle MOA$, в котором угол $\angle MOA = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle MOA$:
$MA^2 = MO^2 + OA^2$

Чтобы найти $MA$, нам необходимо определить длину катета $OA$. $OA$ — это радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника. В условии задачи дан радиус вписанной окружности $r = 6$ см. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ существуют следующие соотношения для радиусов описанной ($R$) и вписанной ($r$) окружностей:
$R = a$
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Мы можем выразить $r$ через $R$, подставив $a=R$ во вторую формулу:
$r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$
Теперь выразим $R$ из этого соотношения и подставим известное значение $r = 6$ см:
$R = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Таким образом, мы нашли длину катета $OA$, которая равна радиусу описанной окружности: $OA = R = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $MA$, подставив известные значения в теорему Пифагора:
$MA^2 = MO^2 + OA^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2$
$MA^2 = 16 + 16 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$
$MA = \sqrt{64} = 8$ см.

Расстояние от точки $M$ до вершин шестиугольника равно 8 см.

Ответ: 8 см.