Номер 91, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1. Перпендикуляр и наклонная - номер 91, страница 17.

Условие.

91. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, точки $B$ и $D$ — плоскости $\beta$, $AB = 13$ см, $CD = 20$ см. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если разность проекций отрезков $AB$ и $CD$ на плоскость $\alpha$ равна $11$ см.

Решение.

Решение 2.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим отрезок $AB$. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. Пусть $B'$ — ортогональная проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию между плоскостями: $BB' = h$. Отрезок $AB'$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $ABB'$ — прямоугольный ($\angle AB'B = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для треугольника $ABB'$:

$AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2$

Обозначим длину проекции $AB'$ как $p_{AB}$. Подставим известные значения:

$13^2 = p_{AB}^2 + h^2$

$p_{AB}^2 = 169 - h^2$

$p_{AB} = \sqrt{169 - h^2}$

Аналогично рассмотрим отрезок $CD$. Точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $D$ — в плоскости $\beta$. Пусть $D'$ — ортогональная проекция точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $DD' = h$. Отрезок $CD'$ является проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $CDD'$ — прямоугольный ($\angle CD'D = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для треугольника $CDD'$:

$CD^2 = (CD')^2 + (DD')^2$

Обозначим длину проекции $CD'$ как $p_{CD}$. Подставим известные значения:

$20^2 = p_{CD}^2 + h^2$

$p_{CD}^2 = 400 - h^2$

$p_{CD} = \sqrt{400 - h^2}$

По условию, разность длин проекций равна 11 см. Поскольку $CD > AB$ (20 > 13), то и длина проекции $CD$ будет больше длины проекции $AB$ ($p_{CD} > p_{AB}$). Следовательно:

$p_{CD} - p_{AB} = 11$

Подставим выражения для $p_{CD}$ и $p_{AB}$ в это уравнение:

$\sqrt{400 - h^2} - \sqrt{169 - h^2} = 11$

Для решения этого иррационального уравнения уединим один из корней:

$\sqrt{400 - h^2} = 11 + \sqrt{169 - h^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{400 - h^2})^2 = (11 + \sqrt{169 - h^2})^2$

$400 - h^2 = 11^2 + 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{169 - h^2} + (\sqrt{169 - h^2})^2$

$400 - h^2 = 121 + 22\sqrt{169 - h^2} + 169 - h^2$

Упростим уравнение, сократив $-h^2$ в обеих частях и объединив константы:

$400 = 290 + 22\sqrt{169 - h^2}$

Выразим радикал:

$400 - 290 = 22\sqrt{169 - h^2}$

$110 = 22\sqrt{169 - h^2}$

Разделим обе части на 22:

$5 = \sqrt{169 - h^2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$5^2 = (\sqrt{169 - h^2})^2$

$25 = 169 - h^2$

Отсюда найдем $h^2$:

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

Так как расстояние $h$ является положительной величиной, извлечем корень:

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.