Номер 91, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Перпендикуляр и наклонная. Вариант 1. Упражнения - номер 91, страница 17.
№91 (с. 17)
Условие. №91 (с. 17)
скриншот условия

91. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$, точки $B$ и $D$ — плоскости $\beta$, $AB = 13$ см, $CD = 20$ см. Найдите расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если разность проекций отрезков $AB$ и $CD$ на плоскость $\alpha$ равна $11$ см.
Решение. №91 (с. 17)

Решение 2. №91 (с. 17)
Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
Рассмотрим отрезок $AB$. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. Пусть $B'$ — ортогональная проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $BB'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию между плоскостями: $BB' = h$. Отрезок $AB'$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $ABB'$ — прямоугольный ($\angle AB'B = 90^\circ$).
По теореме Пифагора для треугольника $ABB'$:
$AB^2 = (AB')^2 + (BB')^2$
Обозначим длину проекции $AB'$ как $p_{AB}$. Подставим известные значения:
$13^2 = p_{AB}^2 + h^2$
$p_{AB}^2 = 169 - h^2$
$p_{AB} = \sqrt{169 - h^2}$
Аналогично рассмотрим отрезок $CD$. Точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $D$ — в плоскости $\beta$. Пусть $D'$ — ортогональная проекция точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $DD' = h$. Отрезок $CD'$ является проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $CDD'$ — прямоугольный ($\angle CD'D = 90^\circ$).
По теореме Пифагора для треугольника $CDD'$:
$CD^2 = (CD')^2 + (DD')^2$
Обозначим длину проекции $CD'$ как $p_{CD}$. Подставим известные значения:
$20^2 = p_{CD}^2 + h^2$
$p_{CD}^2 = 400 - h^2$
$p_{CD} = \sqrt{400 - h^2}$
По условию, разность длин проекций равна 11 см. Поскольку $CD > AB$ (20 > 13), то и длина проекции $CD$ будет больше длины проекции $AB$ ($p_{CD} > p_{AB}$). Следовательно:
$p_{CD} - p_{AB} = 11$
Подставим выражения для $p_{CD}$ и $p_{AB}$ в это уравнение:
$\sqrt{400 - h^2} - \sqrt{169 - h^2} = 11$
Для решения этого иррационального уравнения уединим один из корней:
$\sqrt{400 - h^2} = 11 + \sqrt{169 - h^2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{400 - h^2})^2 = (11 + \sqrt{169 - h^2})^2$
$400 - h^2 = 11^2 + 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{169 - h^2} + (\sqrt{169 - h^2})^2$
$400 - h^2 = 121 + 22\sqrt{169 - h^2} + 169 - h^2$
Упростим уравнение, сократив $-h^2$ в обеих частях и объединив константы:
$400 = 290 + 22\sqrt{169 - h^2}$
Выразим радикал:
$400 - 290 = 22\sqrt{169 - h^2}$
$110 = 22\sqrt{169 - h^2}$
Разделим обе части на 22:
$5 = \sqrt{169 - h^2}$
Снова возведем обе части в квадрат:
$5^2 = (\sqrt{169 - h^2})^2$
$25 = 169 - h^2$
Отсюда найдем $h^2$:
$h^2 = 169 - 25$
$h^2 = 144$
Так как расстояние $h$ является положительной величиной, извлечем корень:
$h = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 91 расположенного на странице 17 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №91 (с. 17), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.