Номер 97, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми $DB_1$ и $AB$.

Прямые $DB_1$ и $AB$ являются скрещивающимися. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABCD$, а прямая $DB_1$, являющаяся диагональю куба, пересекает эту плоскость в точке $D$, которая не лежит на прямой $AB$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для его нахождения можно использовать метод проекций. Спроецируем одну из прямых на плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Ребро куба $AB$ перпендикулярно грани $ADD_1A_1$. Это следует из того, что ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и перпендикулярно ребру $AA_1$ (так как ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания). Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AD$ и $AA_1$) в плоскости $(ADD_1A_1)$, она перпендикулярна и самой плоскости.

Найдем проекции прямых $AB$ и $DB_1$ на плоскость $(ADD_1A_1)$. Проекцией прямой $AB$ на перпендикулярную ей плоскость $(ADD_1A_1)$ является точка их пересечения, то есть точка $A$.

Проекция прямой $DB_1$ находится по проекциям ее концов, точек $D$ и $B_1$. Точка $D$ принадлежит плоскости $(ADD_1A_1)$, поэтому она проецируется в саму себя. Точка $B_1$ проецируется в точку $A_1$, так как ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $(ADD_1A_1)$. Таким образом, проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $(ADD_1A_1)$ является прямая $DA_1$.

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DB_1$ равно расстоянию между их проекциями, то есть расстоянию от точки $A$ до прямой $DA_1$ в плоскости квадрата $ADD_1A_1$.

Это расстояние является высотой $h$, проведенной из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $DA_1$ в прямоугольном треугольнике $\Delta DAA_1$. Катеты этого треугольника равны ребру куба: $AD = 2$ см и $AA_1 = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $DA_1$:
$DA_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь треугольника $\Delta DAA_1$ можно выразить двумя способами:
$S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ см$^2$.
$S = \frac{1}{2} \cdot DA_1 \cdot h$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:
$\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot h = 2$
$\sqrt{2} \cdot h = 2$
$h = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $DB_1$ и $AB$ равно $\sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.