Номер 100, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1. Теорема о трёх перпендикулярах - номер 100, страница 18.

Условие.

100. Через вершину прямого угла C треугольника ABC к его плоскости проведён перпендикуляр CM длиной $4\sqrt{7}$ см. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если $AC = BC = 8$ см.

Решение.

Решение 2.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника равны: $AC = BC = 8$ см. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Через вершину $C$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $CM$ длиной $4\sqrt{7}$ см. Необходимо найти расстояние от точки $M$ до прямой $AB$.

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MH$ к прямой $AB$. Длина отрезка $MH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим связь между отрезками $CM$, $MH$ и $CH$. Так как $CM \perp (ABC)$ (по условию), то $CM$ — перпендикуляр к плоскости. $MH$ — наклонная, проведенная из точки $M$ к прямой $AB$ в плоскости $(ABC)$. $CH$ — проекция наклонной $MH$ на плоскость $(ABC)$.

По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой ($AB$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($CH$) на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой ($AB$). Таким образом, из $MH \perp AB$ следует, что $CH \perp AB$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $CH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$

$AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MCH$. Поскольку $CM$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $CH$. Значит, $\angle MCH = 90^\circ$, и треугольник $MCH$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $MCH$ нам известны длины катетов: $CM = 4\sqrt{7}$ см (по условию) и $CH = 4\sqrt{2}$ см (как мы нашли ранее). Искомое расстояние $MH$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора:

$MH^2 = CM^2 + CH^2$

$MH^2 = (4\sqrt{7})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (16 \cdot 7) + (16 \cdot 2) = 112 + 32 = 144$

$MH = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.