Номер 105, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 18 см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, проведён перпендикуляр $OK$ к плоскости трапеции, $OK = 8$ см. Найдите расстояние от точки $K$ до сторон трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=18$ см и $BC=8$ см. В трапецию вписана окружность с центром в точке $O$. Из точки $O$ к плоскости трапеции проведен перпендикуляр $OK$, длина которого $OK = 8$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до сторон трапеции $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Рассмотрим расстояние от точки $K$ до какой-либо стороны трапеции, например, до боковой стороны $AB$. Пусть $KM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AB$ ($M$ — основание перпендикуляра, $M \in AB$). Тогда длина отрезка $KM$ — искомое расстояние.

Так как $OK$ перпендикулярен плоскости трапеции, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $OM$. Следовательно, треугольник $\triangle OKM$ является прямоугольным с прямым углом $O$.

Отрезок $OM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость трапеции. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $KM$ перпендикулярна прямой $AB$, то и ее проекция $OM$ перпендикулярна этой прямой $AB$.

Таким образом, $OM$ — это расстояние от центра вписанной окружности $O$ до стороны $AB$. По определению вписанной окружности, ее центр равноудален от всех сторон многоугольника, и это расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности. Значит, расстояние от точки $O$ до любой из четырех сторон трапеции равно $r$.

Это означает, что искомые расстояния от точки $K$ до всех четырех сторон трапеции будут одинаковы и могут быть найдены по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle OKM$:

$KM = \sqrt{OK^2 + OM^2} = \sqrt{OK^2 + r^2}$

Найдем радиус $r$ вписанной окружности.

1. Нахождение высоты и радиуса трапеции.

Для любого описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции:

$AB + CD = AD + BC$

Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD = c$.

$2c = 18 + 8 = 26$ см

$c = 13$ см

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$ равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h=BH$:

$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см

2. Нахождение расстояния от точки K до сторон трапеции.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $KM$, подставив известные значения в формулу:

$KM = \sqrt{OK^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см

Так как расстояние от центра $O$ до всех сторон трапеции одинаково и равно $r$, то и расстояние от точки $K$ до всех сторон трапеции будет одинаковым.

Ответ: Расстояние от точки К до каждой из сторон трапеции равно 10 см.