gdz.top
Номер 106, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Теорема о трёх перпендикулярах - номер 106, страница 19.
№105
№106 (с. 19)
Условие. №106 (с. 19)
106. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $КС$. Прямая, проходящая через точку $K$ и середину отрезка $AB$, перпендикулярна прямой $AB$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
Решение. №106 (с. 19)
Решение 2. №106 (с. 19)
Дано:
$\triangle ABC$ лежит в плоскости $\alpha$.
$KC \perp \alpha$ (KC - перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$).
M - середина отрезка $AB$.
$KM \perp AB$ (прямая, проходящая через K и M, перпендикулярна AB).
Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным.
Доказательство:
Поскольку по условию $KC$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то $KC$ является перпендикуляром, опущенным из точки K на плоскость $(ABC)$.
Отрезок $KM$ является наклонной, проведенной из точки K к плоскости $(ABC)$.
Отрезок $CM$ соединяет основание перпендикуляра (точку C) и основание наклонной (точку M), следовательно, $CM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость $(ABC)$.
Воспользуемся обратной теоремой о трёх перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.
В нашей задаче прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$ и, по условию, перпендикулярна наклонной $KM$ ($AB \perp KM$).
Следовательно, по этой теореме, прямая $AB$ также перпендикулярна проекции $CM$. Таким образом, $CM \perp AB$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABC$.
1. Отрезок $CM$ является медианой, так как по условию точка M — середина стороны $AB$.
2. Отрезок $CM$ является высотой, так как мы доказали, что $CM \perp AB$.
Поскольку в треугольнике $ABC$ отрезок $CM$, проведенный из вершины C, является одновременно и медианой, и высотой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AC = BC$.
Таким образом, доказано, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $ABC$ является равнобедренным.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 106 расположенного на странице 19 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №106 (с. 19), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.