Номер 113, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ провели наклонные $DK$ и $DB$, образующие с ней углы $45^\circ$ и $60^\circ$ соответственно.

Найдите проекцию наклонной $DK$ на плоскость $\alpha$, если $DB = 10\sqrt{3}$ см.

Пусть $DH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание этого перпендикуляра. Отрезок $HK$ является проекцией наклонной $DK$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HB$ — проекцией наклонной $DB$ на плоскость $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Таким образом, по условию задачи, угол между наклонной $DK$ и её проекцией $HK$ равен $45^\circ$ ($\angle DKH = 45^\circ$), а угол между наклонной $DB$ и её проекцией $HB$ равен $60^\circ$ ($\angle DBH = 60^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHB$ (угол $\angle DHB = 90^\circ$, так как $DH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$). В этом треугольнике гипотенуза $DB = 10\sqrt{3}$ см, а угол $\angle DBH = 60^\circ$. Найдем длину катета $DH$, который является расстоянием от точки $D$ до плоскости $\alpha$:
$DH = DB \cdot \sin(\angle DBH) = 10\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)$
Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$DH = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHK$ (угол $\angle DHK = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $DH = 15$ см и угол $\angle DKH = 45^\circ$. Мы ищем длину проекции $HK$, которая является вторым катетом.
Поскольку в прямоугольном треугольнике $\triangle DHK$ один из острых углов равен $45^\circ$, то он является равнобедренным, следовательно, катеты равны:
$HK = DH = 15$ см.

Alternatively, we could use the tangent definition:
$\tan(\angle DKH) = \frac{DH}{HK}$
$HK = \frac{DH}{\tan(\angle DKH)} = \frac{15}{\tan(45^\circ)} = \frac{15}{1} = 15$ см.

Таким образом, проекция наклонной $DK$ на плоскость $\alpha$ равна 15 см.
Ответ: 15 см.