Номер 120, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Величина двугранного угла равна $30^\circ$. Плоскость $\alpha$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым, удалённым от ребра двугранного угла на $2\sqrt{3}$ см и на 6 см. Найдите расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\alpha$.

Для решения задачи рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. В этом сечении двугранный угол изобразится своим линейным углом $ \angle AOB $, равным по условию $ 30^\circ $. Точка $O$ — это точка пересечения ребра с секущей плоскостью. Лучи $OA$ и $OB$ — это линии пересечения секущей плоскости с гранями двугранного угла.

Плоскость $ \alpha $ пересекает грани по параллельным прямым. Эти прямые, в свою очередь, будут параллельны ребру двугранного угла. В нашем перпендикулярном сечении эти прямые изобразятся точками, назовем их $A$ и $B$. Точка $A$ лежит на одном луче угла (например, $OA$), а точка $B$ — на другом ($OB$).

Расстояния от этих прямых до ребра двугранного угла — это длины перпендикуляров, проведенных от точек на прямых к ребру. В нашем сечении это будут длины отрезков $OA$ и $OB$. Согласно условию задачи, $ OA = 2\sqrt{3} $ см и $ OB = 6 $ см.

Искомое расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $ \alpha $ в нашем сечении будет равно длине высоты треугольника $OAB$, проведенной из вершины $O$ к стороне $AB$. Обозначим эту высоту как $h$.

Таким образом, задача сводится к нахождению высоты $h$ в треугольнике $ \triangle OAB $, в котором известны две стороны $OA = 2\sqrt{3}$, $OB = 6$ и угол между ними $ \angle AOB = 30^\circ $.

Для начала найдем длину третьей стороны $AB$ по теореме косинусов: $ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) $ $ AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) $ $ AB^2 = 12 + 36 - 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ AB^2 = 48 - 12 \cdot 3 $ $ AB^2 = 48 - 36 $ $ AB^2 = 12 $ $ AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $ см.

Теперь, зная все стороны треугольника, мы можем найти искомую высоту $h$, используя формулу площади треугольника. Площадь $ \triangle OAB $ можно вычислить двумя способами:
1. Через две стороны и угол между ними: $ S = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) $
2. Через основание и высоту: $ S = \frac{1}{2} AB \cdot h $

Приравняем правые части этих двух выражений: $ \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AB \cdot h $ $ OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = AB \cdot h $

Из этого равенства выразим высоту $h$: $ h = \frac{OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB)}{AB} $

Подставим известные значения: $ h = \frac{2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)}{2\sqrt{3}} $
Поскольку $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем: $ h = \frac{2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}}{2\sqrt{3}} $ $ h = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

Следовательно, расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $ \alpha $ равно 3 см.

Ответ: 3 см.