Номер 114, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Точка $A$ находится на расстоянии 9 см от плоскости $\alpha$. Наклонные $AB$ и $AC$ образуют с плоскостью $\alpha$ углы $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$, а угол между проекциями наклонных равен $150^{\circ}$. Найдите расстояние между точками $B$ и $C$.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра, а длина $AH$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. По условию, $AH = 9$ см.

$HB$ и $HC$ — это проекции наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. Следовательно, $\angle ABH = 45^\circ$ и $\angle ACH = 60^\circ$. Треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными, так как $AH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $H$.

Угол между проекциями наклонных — это угол $\angle BHC$, который по условию равен $150^\circ$.

Наша задача — найти длину отрезка $BC$.

1. Найдем длину проекции HB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Мы знаем катет $AH$ и угол $\angle ABH$. Найдем второй катет $HB$ через тангенс угла:

$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{HB}$

$HB = \frac{AH}{\tan(\angle ABH)} = \frac{9}{\tan(45^\circ)} = \frac{9}{1} = 9$ см.

2. Найдем длину проекции HC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$). Аналогично, найдем катет $HC$:

$\tan(\angle ACH) = \frac{AH}{HC}$

$HC = \frac{AH}{\tan(\angle ACH)} = \frac{9}{\tan(60^\circ)} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

3. Найдем расстояние BC

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BHC$, который лежит в плоскости $\alpha$. Мы знаем длины двух его сторон ($HB = 9$ см и $HC = 3\sqrt{3}$ см) и угол между ними ($\angle BHC = 150^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $BC$, воспользуемся теоремой косинусов:

$BC^2 = HB^2 + HC^2 - 2 \cdot HB \cdot HC \cdot \cos(\angle BHC)$

Подставим известные значения. Учтем, что $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$BC^2 = 9^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$BC^2 = 81 + (9 \cdot 3) + \frac{2 \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 81 + 27 + 9 \cdot 3 \cdot 3$

$BC^2 = 108 + 81$

$BC^2 = 189$

$BC = \sqrt{189}$

Разложим 189 на множители: $189 = 9 \cdot 21$.

$BC = \sqrt{9 \cdot 21} = 3\sqrt{21}$ см.

Ответ: $3\sqrt{21}$ см.