Номер 112, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Из точки A, лежащей вне плоскости $ \alpha $, проведены к ней равные наклонные $ AB_1 $, $ AB_2 $, $ AB_3 $, ... и перпендикуляр $ AO $. Докажите, что точки $ B_1 $, $ B_2 $, $ B_3 $, ... лежат на окружности с центром $ O $.

Рассмотрим треугольники $\Delta AOB_1, \Delta AOB_2, \Delta AOB_3, \dots$, образованные перпендикуляром $AO$ к плоскости $\alpha$, наклонными $AB_1, AB_2, AB_3, \dots$ и их проекциями $OB_1, OB_2, OB_3, \dots$ на эту плоскость.

Поскольку отрезок $AO$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Следовательно, $AO \perp OB_n$ для любого $n$. Это означает, что все треугольники $\Delta AOB_n$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $O$.

Сравним эти прямоугольные треугольники. У них:

1. Катет $AO$ — общий.

2. Гипотенузы $AB_1, AB_2, AB_3, \dots$ равны по условию задачи.

Следовательно, все прямоугольные треугольники $\Delta AOB_1, \Delta AOB_2, \Delta AOB_3, \dots$ равны между собой по катету и гипотенузе.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $OB_1 = OB_2 = OB_3 = \dots$.

Точки $B_1, B_2, B_3, \dots$ лежат в плоскости $\alpha$ и равноудалены от точки $O$, которая также лежит в этой плоскости. По определению окружности, геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра), есть окружность.

Таким образом, точки $B_1, B_2, B_3, \dots$ лежат на окружности с центром в точке $O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $B_1, B_2, B_3, \dots$ лежат на окружности с центром $O$, так как они являются основаниями равных наклонных, проведенных из одной точки $A$ к плоскости $\alpha$. Равенство их расстояний от точки $O$ ($OB_1 = OB_2 = OB_3 = \dots$) следует из равенства прямоугольных треугольников $\Delta AOB_n$, у которых общий катет $AO$ и равные гипотенузы $AB_n$.