Номер 117, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Треугольники $ABC$ и $ADC$ не лежат в одной плоскости. Найдите углы, которые образуют прямые $AB$ и $CB$ с плоскостью $ADC$, если $AB = BC = AC$, $\angle ADC = 90^\circ$, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ADC$.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

По условию задачи, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ADC$. Это означает, что точка $D$ является проекцией точки $B$ на плоскость $ADC$. Точки $A$ и $C$ лежат в плоскости $ADC$, поэтому их проекции совпадают с самими точками.

Таким образом:

• Проекцией наклонной $AB$ на плоскость $ADC$ является отрезок $AD$. Искомый угол, который образует прямая $AB$ с плоскостью $ADC$, — это угол $\angle BAD$.
• Проекцией наклонной $CB$ на плоскость $ADC$ является отрезок $CD$. Искомый угол, который образует прямая $CB$ с плоскостью $ADC$, — это угол $\angle BCD$.

Для нахождения величин этих углов введем обозначение. Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$, то есть $AB = BC = AC = a$.

Так как $BD \perp (ADC)$, то прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $BD \perp AD$ и $BD \perp CD$. Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Рассмотрим эти прямоугольные треугольники:

• В $\triangle ABD$: по теореме Пифагора $AB^2 = AD^2 + BD^2$, откуда $AD^2 = a^2 - BD^2$.
• В $\triangle CBD$: по теореме Пифагора $BC^2 = CD^2 + BD^2$, откуда $CD^2 = a^2 - BD^2$.

Из полученных равенств следует, что $AD^2 = CD^2$, а значит $AD = CD$.

Теперь рассмотрим $\triangle ADC$. По условию $\angle ADC = 90^\circ$, и мы доказали, что катеты $AD$ и $CD$ равны. Значит, $\triangle ADC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора для этого треугольника:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Подставляя известные значения, получаем:

$a^2 = AD^2 + AD^2 = 2AD^2$

Отсюда находим длину катета $AD$:

$AD^2 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow AD = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Так как $CD = AD$, то $CD = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Теперь мы можем вычислить искомые углы.

Этот угол равен $\angle BAD$. Найдем его из прямоугольного треугольника $ABD$.

Косинус угла $\angle BAD$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle BAD) = \frac{AD}{AB} = \frac{a/\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомый угол $\angle BAD = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Этот угол равен $\angle BCD$. Найдем его из прямоугольного треугольника $CBD$.

Косинус угла $\angle BCD$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle BCD) = \frac{CD}{BC} = \frac{a/\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, искомый угол $\angle BCD = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.