Номер 118, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Двугранный угол. Угол между плоскостями

118. На одной из граней двугранного угла, величина которого равна $45^\circ$, отметили точку $A$. Расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла равно 10 см. Найдите расстояние от точки $A$ до другой грани двугранного угла.

Пусть грани двугранного угла — это плоскости $\alpha$ и $\beta$, а их линия пересечения (ребро) — прямая $c$. Величина двугранного угла равна $45^\circ$.

В одной из граней, пусть это будет грань $\alpha$, отмечена точка $A$. Расстояние от точки $A$ до ребра $c$ равно 10 см. Это означает, что если мы опустим перпендикуляр из точки $A$ на прямую $c$, его длина будет равна 10 см. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $B$. Таким образом, мы имеем отрезок $AB$, такой что $AB \perp c$ и его длина $|AB| = 10$ см.

Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до другой грани, то есть до плоскости $\beta$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $C$. Таким образом, $AC \perp \beta$, и нам нужно найти длину отрезка $AC$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку $B$ и перпендикулярную ребру $c$. Так как $AB \perp c$, отрезок $AB$ лежит в этой плоскости. Проведем в плоскости $\beta$ прямую через точку $B$ перпендикулярно ребру $c$. Отрезок $BC$ будет лежать на этой прямой. Угол между отрезками $AB$ и $BC$ (оба перпендикулярны ребру $c$ в одной точке) является линейным углом двугранного угла. Следовательно, $\angle ABC = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. По построению $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через основание перпендикуляра $C$, то $AC \perp BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ABC$ мы знаем:

• гипотенузу $AB = 10$ см;
• острый угол $\angle ABC = 45^\circ$;
• искомый катет $AC$, который лежит напротив угла $\angle ABC$.

Для нахождения катета $AC$ воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ABC) = \frac{|AC|}{|AB|}$

Отсюда выражаем $|AC|$:

$|AC| = |AB| \cdot \sin(\angle ABC)$

Подставляем известные значения:

$|AC| = 10 \cdot \sin(45^\circ)$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$|AC| = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.