Номер 119, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В гранях двугранного угла проведены прямые $a$ и $b$, параллельные его ребру, на расстоянии 10 см и 6 см от него соответственно. Найдите величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 14 см.

Пусть ребро двугранного угла — это прямая $c$, а его грани — плоскости $\alpha$ и $\beta$. В плоскости $\alpha$ проведена прямая $a \parallel c$ на расстоянии 10 см от $c$. В плоскости $\beta$ проведена прямая $b \parallel c$ на расстоянии 6 см от $c$. Расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 14 см.

Для определения величины двугранного угла необходимо найти его линейный угол. Для этого построим плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $c$. Эта плоскость пересечет ребро $c$ в некоторой точке $O$, прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$.

Так как плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $c$, а прямые $a$ и $b$ параллельны $c$, то плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна и прямым $a$ и $b$.

По построению, отрезки $OA$ и $OB$ лежат в плоскости $\gamma$ и перпендикулярны ребру $c$. Следовательно, их длины равны расстояниям от прямых $a$ и $b$ до ребра $c$ соответственно:

• $OA = 10$ см
• $OB = 6$ см

Угол $\angle AOB$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его как $\phi$.

Отрезок $AB$ соединяет точки $A$ на прямой $a$ и $B$ на прямой $b$. Так как $AB$ лежит в плоскости $\gamma$, перпендикулярной обеим прямым, то длина отрезка $AB$ равна расстоянию между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$. По условию, это расстояние равно 14 см. Таким образом, $AB = 14$ см.

В итоге мы имеем треугольник $\triangle AOB$ со сторонами $OA = 10$ см, $OB = 6$ см и $AB = 14$ см. Искомый угол $\phi$ — это угол $\angle AOB$ в этом треугольнике. Найдем его, используя теорему косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения в формулу:

$14^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos(\phi)$

Выполним вычисления:

$196 = 100 + 36 - 120 \cdot \cos(\phi)$

$196 = 136 - 120 \cdot \cos(\phi)$

$196 - 136 = -120 \cdot \cos(\phi)$

$60 = -120 \cdot \cos(\phi)$

Выразим $\cos(\phi)$:

$\cos(\phi) = \frac{60}{-120} = -\frac{1}{2}$

Величина двугранного угла $\phi$ должна быть в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, в этом диапазоне равен $120^\circ$.

$\phi = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.