Номер 126, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Сторона $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$. Из точки $C$ к плоскости $\alpha$ проведён перпендикуляр $CO$. Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно $3\sqrt{3}$ см, площадь треугольника $ABC$ равна $36\sqrt{3}$ см². Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$.

Пусть $a$ - сторона равностороннего треугольника $ABC$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию, площадь треугольника $ABC$ равна $36\sqrt{3}$ см². Подставим это значение в формулу, чтобы найти сторону треугольника: $36\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $36 = \frac{a^2}{4}$

$a^2 = 36 \cdot 4 = 144$

$a = \sqrt{144} = 12$ см.

Итак, сторона треугольника $ABC$ равна 12 см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ - это двугранный угол. Его величину можно измерить через линейный угол, который образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей (прямой $AB$) в одной точке.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CM$ к стороне $AB$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, высота $CM$ также является медианой, и точка $M$ - середина $AB$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$CM = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

По построению, $CM \perp AB$.

По условию, из точки $C$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $CO$. Это означает, что $CO \perp \alpha$. Отрезок $CM$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $OM$ - ее проекцией на эту плоскость.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($CM$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и ее проекция ($OM$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $OM \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle CMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$.

Длина отрезка $OM$ - это расстояние от точки $O$ до прямой $AB$. По условию, это расстояние равно $3\sqrt{3}$ см. Итак, $OM = 3\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $CMO$. Так как $CO \perp \alpha$, а $OM$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CO \perp OM$. Следовательно, треугольник $CMO$ - прямоугольный с прямым углом $\angle COM$.

В этом треугольнике мы знаем:

• гипотенузу $CM = 6\sqrt{3}$ см
• катет $OM = 3\sqrt{3}$ см

Найдем косинус угла $\angle CMO$: $\cos(\angle CMO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{CM}$

$\cos(\angle CMO) = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, равен $60^\circ$.

Следовательно, угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.