Номер 127, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Равносторонний треугольник $ABE$ и квадрат $ABCD$ имеют общую сторону $AB$ длиной 4 см. Найдите угол между их плоскостями, если $EC = 2\sqrt{2}$ см.

По условию, равносторонний треугольник $ABE$ и квадрат $ABCD$ имеют общую сторону $AB$ длиной 4 см. Это означает, что все стороны квадрата ($AB, BC, CD, DA$) и все стороны треугольника ($AB, AE, BE$) равны 4 см.

Угол между двумя плоскостями (в данном случае, плоскостью треугольника $ABE$ и плоскостью квадрата $ABCD$) — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Чтобы найти этот угол, нужно:

1. Найти линию пересечения плоскостей. Это общая сторона $AB$.
2. Взять на линии $AB$ произвольную точку и провести к ней перпендикуляры в каждой из плоскостей.
3. Угол между этими перпендикулярами и будет искомым углом.

Выберем в качестве точки на отрезке $AB$ его середину, обозначим ее $H$.

1. В равностороннем треугольнике $ABE$ проведем медиану $EH$. Она также является высотой, поэтому $EH \perp AB$. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$EH = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

2. В плоскости квадрата $ABCD$ проведем из точки $H$ перпендикуляр к стороне $AB$. Пусть этот перпендикуляр пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Так как $H$ — середина $AB$, то $M$ будет серединой $CD$. Отрезок $HM$ параллелен сторонам $BC$ и $AD$ и равен им по длине.
$HM = BC = 4$ см.

3. Угол между плоскостями треугольника и квадрата равен углу между отрезками $EH$ и $HM$, то есть $\angle EHM$. Обозначим этот угол как $\phi$.

Чтобы найти угол $\phi$, рассмотрим треугольник $EHM$. Мы знаем длины двух его сторон: $EH = 2\sqrt{3}$ см и $HM = 4$ см. Найдем третью сторону $EM$, используя данные из условия, что $EC = 2\sqrt{2}$ см. Для этого рассмотрим треугольник $EMC$.

Определим, является ли треугольник $EMC$ прямоугольным.

• Прямая $CD$ перпендикулярна $HM$ (так как $HM \parallel BC$ и $BC \perp CD$ в квадрате).
• Прямая $AB$ перпендикулярна $EH$. Так как $CD \parallel AB$, то и $CD \perp EH$.

Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($HM$ и $EH$) в плоскости $EHM$, она перпендикулярна всей плоскости $EHM$. Следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $EM$.Таким образом, $\angle EMC = 90^\circ$, и треугольник $EMC$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $EMC$:

• Гипотенуза $EC = 2\sqrt{2}$ см (по условию).
• Катет $MC$ равен половине стороны $CD$, так как $M$ — середина $CD$. $MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем катет $EM$:
$EC^2 = EM^2 + MC^2$
$(2\sqrt{2})^2 = EM^2 + 2^2$
$8 = EM^2 + 4$
$EM^2 = 4$
$EM = 2$ см.

Теперь у нас есть все три стороны треугольника $EHM$:

• $EH = 2\sqrt{3}$ см
• $HM = 4$ см
• $EM = 2$ см

Применим теорему косинусов для треугольника $EHM$, чтобы найти угол $\phi = \angle EHM$:
$EM^2 = EH^2 + HM^2 - 2 \cdot EH \cdot HM \cdot \cos(\phi)$
$2^2 = (2\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \cos(\phi)$
$4 = 12 + 16 - 16\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$4 = 28 - 16\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$16\sqrt{3} \cdot \cos(\phi) = 28 - 4$
$16\sqrt{3} \cdot \cos(\phi) = 24$
$\cos(\phi) = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$.
$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: Угол между плоскостями равен $30^\circ$.