Номер 123, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Через гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол $30^\circ$. Найдите расстояние от вершины C до этой плоскости, если катеты треугольника равны $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = 6$ см и $BC = 8$ см. Обозначим плоскость треугольника как $\beta$. Через гипотенузу $AB$ проведена плоскость $\alpha$, которая образует с плоскостью $\beta$ угол $30^\circ$. Необходимо найти расстояние от вершины $C$ до плоскости $\alpha$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ в треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $CK$ из вершины $C$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $CK$ — искомое расстояние.

3. Угол между двумя плоскостями ($\alpha$ и $\beta$) измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения плоскостей является гипотенуза $AB$. Для построения линейного угла проведем в плоскости $\beta$ высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Тогда $CH \perp AB$.

4. Соединим точки $H$ и $K$. Отрезок $HK$ является проекцией наклонной $CH$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CH \perp AB$, то и ее проекция $HK \perp AB$. Следовательно, угол $\angle CHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По условию задачи, $\angle CHK = 30^\circ$.

5. Найдем длину высоты $CH$. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:
Через катеты: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.
Через гипотенузу и высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CH = 5 \cdot CH$.
Приравняв площади, получим: $5 \cdot CH = 24$, откуда $CH = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

6. Рассмотрим треугольник $CHK$. Так как $CK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $HK$ лежит в этой плоскости, то $CK \perp HK$. Значит, треугольник $CHK$ — прямоугольный. В этом треугольнике $CH$ — гипотенуза, а $CK$ — катет, противолежащий углу $\angle CHK = 30^\circ$.
Найдем длину катета $CK$:
$CK = CH \cdot \sin(\angle CHK) = 4,8 \cdot \sin(30^\circ) = 4,8 \cdot \frac{1}{2} = 2,4$ см.

Ответ: 2,4 см.