Номер 116, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. На ребре $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $CM : C_1M = 1 : 2$. Найдите угол между прямой $A_1M$ и плоскостью $CDD_1$, если $AD = 4\sqrt{2}$ см, $CD = 4$ см, $AA_1 = 6$ см.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию прямой $A_1M$ на плоскость $CDD_1$. Плоскость $CDD_1$ содержит грань $CDD_1C_1$ прямоугольного параллелепипеда.

1. Найдём проекцию точки $A_1$ на плоскость $CDD_1$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $A_1D_1$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$. Следовательно, точка $D_1$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $CDD_1$.

2. Найдём проекцию точки $M$ на плоскость $CDD_1$. Точка $M$ лежит на ребре $CC_1$, а ребро $CC_1$ принадлежит грани $CDD_1C_1$. Таким образом, точка $M$ лежит в плоскости $CDD_1$, и её проекцией на эту плоскость является сама точка $M$.

3. Из этого следует, что проекцией прямой $A_1M$ на плоскость $CDD_1$ является прямая $D_1M$. Искомый угол — это угол $\angle A_1MD_1$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1D_1M$. Так как $A_1D_1$ — перпендикуляр к плоскости $CDD_1$, а прямая $D_1M$ лежит в этой плоскости, то $A_1D_1 \perp D_1M$. Значит, треугольник $\triangle A_1D_1M$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D_1$.

5. Найдём длины катетов этого треугольника.

Катет $A_1D_1$ равен ребру $AD$, так как $ADD_1A_1$ — прямоугольник. По условию, $AD = 4\sqrt{2}$ см, следовательно, $A_1D_1 = 4\sqrt{2}$ см.

Для нахождения катета $D_1M$ рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Это прямоугольник. Найдём положение точки $M$ на ребре $CC_1$. Длина ребра $CC_1$ равна $AA_1 = 6$ см. Точка $M$ делит ребро $CC_1$ в отношении $CM : C_1M = 1 : 2$.
Длина всего отрезка $CC_1$ составляет $1+2=3$ части. Тогда:
$CM = \frac{1}{3} CC_1 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ см.
$C_1M = \frac{2}{3} CC_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle D_1C_1M$ в плоскости грани $CDD_1C_1$ (угол $\angle D_1C_1M = 90^\circ$). Его катеты:
$D_1C_1 = CD = 4$ см.
$C_1M = 4$ см.
По теореме Пифагора найдём гипотенузу $D_1M$:
$D_1M^2 = D_1C_1^2 + C_1M^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$D_1M = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

6. Теперь вернёмся к прямоугольному треугольнику $\triangle A_1D_1M$. Мы нашли длины его катетов: $A_1D_1 = 4\sqrt{2}$ см и $D_1M = 4\sqrt{2}$ см. Треугольник является равнобедренным.

Найдём тангенс искомого угла $\alpha = \angle A_1MD_1$:
$\text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{A_1D_1}{D_1M} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.