Номер 115, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Через центр $O$ правильного треугольника $ABC$ к его плоскости проведен перпендикуляр $MO$. Прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $AB$, образует с плоскостью $ABC$ угол $\alpha$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AB$, если $AB = a$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AB$. Тогда длина отрезка $MH$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AB$. По условию, прямая, проходящая через $M$ и перпендикулярная $AB$, является прямой $MH$, то есть $MH \perp AB$.

По условию, перпендикуляр $MO$ проведён к плоскости треугольника $ABC$, то есть $MO \perp (ABC)$. Отрезок $MH$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $OH$ — её проекцией на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой $MH$ и плоскостью $(ABC)$ — это угол $\angle MHO$. По условию, $\angle MHO = \alpha$.

Так как $MO \perp (ABC)$, то $MO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OH$. Таким образом, треугольник $\triangle MHO$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MOH$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle MHO$ мы можем выразить искомую длину $MH$ (гипотенузу) через катет $OH$ и прилежащий угол $\alpha$: $$ \cos(\alpha) = \frac{OH}{MH} \implies MH = \frac{OH}{\cos(\alpha)} $$

Теперь найдем длину отрезка $OH$. По теореме о трёх перпендикулярах: так как наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то и её проекция $OH$ также перпендикулярна этой прямой $AB$. То есть $OH \perp AB$.

Рассмотрим правильный треугольник $\triangle ABC$ со стороной $AB=a$. Точка $O$ — центр этого треугольника (точка пересечения медиан, высот и биссектрис). Расстояние от центра правильного треугольника до его стороны ($OH$) равно радиусу вписанной в этот треугольник окружности ($r$).

Радиус $r$ вписанной в правильный треугольник окружности со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} $$ Следовательно, $OH = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Наконец, подставим найденное значение $OH$ в формулу для $MH$: $$ MH = \frac{OH}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\cos(\alpha)} = \frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)} $$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{6\cos(\alpha)}$