Номер 108, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема о трёх перпендикулярах. Вариант 1. Упражнения - номер 108, страница 19.

Условие.

108. Через вершину $D$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $DE$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 9 см, $AD = \sqrt{3}$ см, $CD = 4\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AB$.

Решение.

Решение 2.

Поскольку прямая $DE$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, то $DE$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $DE \perp DC$ и $DE \perp DA$, а треугольники $\triangle EDC$ и $\triangle EDA$ — прямоугольные.

1. Найдем длину перпендикуляра $DE$.
Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на прямую $BC$.
Проекцией наклонной $EC$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $DC$.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $DC \perp BC$.
По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($DC$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($BC$) в этой плоскости, то и сама наклонная ($EC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $EC \perp BC$.
Следовательно, длина отрезка $EC$ и есть расстояние от точки $E$ до прямой $BC$. По условию, $EC = 9$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EDC$ (угол $\angle EDC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$EC^2 = DE^2 + DC^2$
Найдем $DE^2$:
$DE^2 = EC^2 - DC^2 = 9^2 - (4\sqrt{3})^2 = 81 - 16 \cdot 3 = 81 - 48 = 33$.

2. Найдем расстояние от точки E до прямой AB.
Искомое расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра из точки $E$ на прямую $AB$.
Проекцией наклонной $EA$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $DA$.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $DA \perp AB$.
По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $EA$ также перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, $EA \perp AB$.
Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $EA$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EDA$ (угол $\angle EDA = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$EA^2 = DE^2 + DA^2$
Подставим известные значения:
$EA^2 = 33 + (\sqrt{3})^2 = 33 + 3 = 36$
$EA = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.