Страница 19 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 18 см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, проведён перпендикуляр $OK$ к плоскости трапеции, $OK = 8$ см. Найдите расстояние от точки $K$ до сторон трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=18$ см и $BC=8$ см. В трапецию вписана окружность с центром в точке $O$. Из точки $O$ к плоскости трапеции проведен перпендикуляр $OK$, длина которого $OK = 8$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до сторон трапеции $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Рассмотрим расстояние от точки $K$ до какой-либо стороны трапеции, например, до боковой стороны $AB$. Пусть $KM$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AB$ ($M$ — основание перпендикуляра, $M \in AB$). Тогда длина отрезка $KM$ — искомое расстояние.

Так как $OK$ перпендикулярен плоскости трапеции, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $OM$. Следовательно, треугольник $\triangle OKM$ является прямоугольным с прямым углом $O$.

Отрезок $OM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость трапеции. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $KM$ перпендикулярна прямой $AB$, то и ее проекция $OM$ перпендикулярна этой прямой $AB$.

Таким образом, $OM$ — это расстояние от центра вписанной окружности $O$ до стороны $AB$. По определению вписанной окружности, ее центр равноудален от всех сторон многоугольника, и это расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности. Значит, расстояние от точки $O$ до любой из четырех сторон трапеции равно $r$.

Это означает, что искомые расстояния от точки $K$ до всех четырех сторон трапеции будут одинаковы и могут быть найдены по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle OKM$:

$KM = \sqrt{OK^2 + OM^2} = \sqrt{OK^2 + r^2}$

Найдем радиус $r$ вписанной окружности.

1. Нахождение высоты и радиуса трапеции.

Для любого описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции:

$AB + CD = AD + BC$

Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD = c$.

$2c = 18 + 8 = 26$ см

$c = 13$ см

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$ равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h=BH$:

$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см

2. Нахождение расстояния от точки K до сторон трапеции.

Теперь мы можем найти искомое расстояние $KM$, подставив известные значения в формулу:

$KM = \sqrt{OK^2 + r^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см

Так как расстояние от центра $O$ до всех сторон трапеции одинаково и равно $r$, то и расстояние от точки $K$ до всех сторон трапеции будет одинаковым.

Ответ: Расстояние от точки К до каждой из сторон трапеции равно 10 см.

106. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $КС$. Прямая, проходящая через точку $K$ и середину отрезка $AB$, перпендикулярна прямой $AB$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Дано:
$\triangle ABC$ лежит в плоскости $\alpha$.
$KC \perp \alpha$ (KC - перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$).
M - середина отрезка $AB$.
$KM \perp AB$ (прямая, проходящая через K и M, перпендикулярна AB).

Доказать:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Доказательство:

Поскольку по условию $KC$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то $KC$ является перпендикуляром, опущенным из точки K на плоскость $(ABC)$.

Отрезок $KM$ является наклонной, проведенной из точки K к плоскости $(ABC)$.

Отрезок $CM$ соединяет основание перпендикуляра (точку C) и основание наклонной (точку M), следовательно, $CM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость $(ABC)$.

Воспользуемся обратной теоремой о трёх перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

В нашей задаче прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$ и, по условию, перпендикулярна наклонной $KM$ ($AB \perp KM$).

Следовательно, по этой теореме, прямая $AB$ также перпендикулярна проекции $CM$. Таким образом, $CM \perp AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Отрезок $CM$ является медианой, так как по условию точка M — середина стороны $AB$.

2. Отрезок $CM$ является высотой, так как мы доказали, что $CM \perp AB$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ отрезок $CM$, проведенный из вершины C, является одновременно и медианой, и высотой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AC = BC$.

Таким образом, доказано, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник $ABC$ является равнобедренным.

107. Точка $D$ не принадлежит плоскости треугольника $ABC$ и находится на расстоянии $\sqrt{74}$ см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, если $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 15$ см, $BC = 20$ см.

Пусть $H$ - искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$. По условию, проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, следовательно, отрезок $DO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, и его длина $DO = H$.

Расстояние от точки $D$ до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$, равно $\sqrt{74}$ см. Опустим перпендикуляры из точки $D$ на прямые $AC$, $BC$ и $AB$. Пусть их основаниями будут точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. Тогда по определению расстояния от точки до прямой имеем: $DK \perp AC$, $DL \perp BC$, $DM \perp AB$, и $DK = DL = DM = \sqrt{74}$ см.

Соединим точку $O$ с точками $K$, $L$ и $M$. Так как $DO \perp (ABC)$, то отрезки $OK$, $OL$ и $OM$ являются проекциями наклонных $DK$, $DL$ и $DM$ на плоскость $ABC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DOK$, $\triangle DOL$ и $\triangle DOM$. Они являются прямоугольными, так как $DO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, а значит, перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. В этих треугольниках катет $DO$ — общий, а гипотенузы равны по условию: $DK = DL = DM = \sqrt{74}$ см. По теореме Пифагора равны и вторые катеты: $OK = OL = OM$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AC$), то и ее проекция ($OK$) перпендикулярна той же прямой ($AC$). Таким образом, $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AB$.

Мы установили, что точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$ ($OK=OL=OM$). Это означает, что $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, а расстояние от $O$ до сторон равно радиусу $r$ этой окружности, то есть $OK = r$.

Найдем радиус вписанной окружности для данного прямоугольного треугольника $ABC$. Дано: катеты $AC = 15$ см и $BC = 20$ см, $\angle ACB = 90^\circ$. Сначала найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. $r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{15 + 20 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Следовательно, $OK = r = 5$ см.

Теперь, зная длины катета $OK$ и гипотенузы $DK$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DOK$, мы можем найти длину второго катета $DO$, который и является искомым расстоянием. По теореме Пифагора: $DO^2 + OK^2 = DK^2$ $H^2 + 5^2 = (\sqrt{74})^2$ $H^2 + 25 = 74$ $H^2 = 74 - 25 = 49$ $H = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

108. Через вершину $D$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $DE$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно 9 см, $AD = \sqrt{3}$ см, $CD = 4\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AB$.

Поскольку прямая $DE$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, то $DE$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $DE \perp DC$ и $DE \perp DA$, а треугольники $\triangle EDC$ и $\triangle EDA$ — прямоугольные.

1. Найдем длину перпендикуляра $DE$.
Расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на прямую $BC$.
Проекцией наклонной $EC$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $DC$.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $DC \perp BC$.
По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($DC$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($BC$) в этой плоскости, то и сама наклонная ($EC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $EC \perp BC$.
Следовательно, длина отрезка $EC$ и есть расстояние от точки $E$ до прямой $BC$. По условию, $EC = 9$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EDC$ (угол $\angle EDC = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$EC^2 = DE^2 + DC^2$
Найдем $DE^2$:
$DE^2 = EC^2 - DC^2 = 9^2 - (4\sqrt{3})^2 = 81 - 16 \cdot 3 = 81 - 48 = 33$.

2. Найдем расстояние от точки E до прямой AB.
Искомое расстояние от точки $E$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра из точки $E$ на прямую $AB$.
Проекцией наклонной $EA$ на плоскость $(ABCD)$ является отрезок $DA$.
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $DA \perp AB$.
По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $EA$ также перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, $EA \perp AB$.
Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $EA$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle EDA$ (угол $\angle EDA = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$EA^2 = DE^2 + DA^2$
Подставим известные значения:
$EA^2 = 33 + (\sqrt{3})^2 = 33 + 3 = 36$
$EA = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Угол между прямой и плоскостью

109. Наклонная образует с плоскостью угол $30^\circ$. Найдите длину её проекции на эту плоскость, если длина наклонной равна 4 см.

Пусть $L$ — это длина наклонной, а $P$ — длина её проекции на плоскость. Наклонная, её проекция и перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а её проекция — катетом, прилежащим к углу $\alpha$ между наклонной и плоскостью.

По условию задачи даны:
Длина наклонной $L = 4$ см.
Угол между наклонной и плоскостью $\alpha = 30^{\circ}$.

Длину проекции (прилежащего катета) можно найти, используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\alpha) = \frac{P}{L}$
Отсюда, $P = L \cdot \cos(\alpha)$.

Подставим известные значения в формулу:
$P = 4 \cdot \cos(30^{\circ})$

Так как значение $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$P = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

110. Найдите угол между наклонной и плоскостью, к которой она проведена, если длина наклонной равна 6 см, а длина её проекции на эту плоскость — 3 см.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Пусть $l$ — длина наклонной, а $p$ — длина её проекции на плоскость. По условию, $l = 6$ см, $p = 3$ см.

Наклонная, её проекция и перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• наклонная ($l$) является гипотенузой;
• проекция ($p$) является катетом, прилежащим к углу между наклонной и плоскостью.

Обозначим искомый угол как $\alpha$. Косинус этого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\alpha) = \frac{p}{l}$

Подставим данные из условия задачи:

$\cos(\alpha) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

111. Через центр $O$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 9 см проведен перпендикуляр $OM$ к его плоскости длиной 3 см. Найдите угол между прямой $MA$ и плоскостью треугольника.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. По условию, отрезок OM является перпендикуляром к плоскости треугольника ABC, опущенным из точки M. Точка O — основание этого перпендикуляра. Следовательно, отрезок OA является проекцией наклонной MA на плоскость (ABC). Таким образом, искомый угол — это угол между прямой MA и её проекцией OA, то есть $\angle MAO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAO$. Так как $OM \perp (ABC)$, то прямая OM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O. В частности, $OM \perp OA$. Это означает, что $\triangle MAO$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle MOA = 90^\circ$.

Для нахождения величины угла $\angle MAO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAO$ нам нужно знать длины его катетов OM и OA. Длина катета OM дана в условии: $OM = 3$ см.

Длину катета OA найдём из свойств правильного треугольника. Точка O — центр правильного треугольника ABC. Расстояние от центра правильного треугольника до его вершины равно радиусу R описанной около него окружности. Для правильного треугольника со стороной a радиус описанной окружности вычисляется по формуле:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим в формулу значение стороны треугольника $a = 9$ см:$OA = R = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длины обоих катетов в прямоугольном треугольнике $\triangle MAO$ ($OM = 3$ см и $OA = 3\sqrt{3}$ см), мы можем найти тангенс угла $\angle MAO$:$\tan(\angle MAO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OM}{OA} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle MAO$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.