Номер 107, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Точка $D$ не принадлежит плоскости треугольника $ABC$ и находится на расстоянии $\sqrt{74}$ см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$, если $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 15$ см, $BC = 20$ см.

Пусть $H$ - искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$. По условию, проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, следовательно, отрезок $DO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, и его длина $DO = H$.

Расстояние от точки $D$ до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$, равно $\sqrt{74}$ см. Опустим перпендикуляры из точки $D$ на прямые $AC$, $BC$ и $AB$. Пусть их основаниями будут точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. Тогда по определению расстояния от точки до прямой имеем: $DK \perp AC$, $DL \perp BC$, $DM \perp AB$, и $DK = DL = DM = \sqrt{74}$ см.

Соединим точку $O$ с точками $K$, $L$ и $M$. Так как $DO \perp (ABC)$, то отрезки $OK$, $OL$ и $OM$ являются проекциями наклонных $DK$, $DL$ и $DM$ на плоскость $ABC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DOK$, $\triangle DOL$ и $\triangle DOM$. Они являются прямоугольными, так как $DO$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, а значит, перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. В этих треугольниках катет $DO$ — общий, а гипотенузы равны по условию: $DK = DL = DM = \sqrt{74}$ см. По теореме Пифагора равны и вторые катеты: $OK = OL = OM$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AC$), то и ее проекция ($OK$) перпендикулярна той же прямой ($AC$). Таким образом, $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AB$.

Мы установили, что точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$ ($OK=OL=OM$). Это означает, что $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, а расстояние от $O$ до сторон равно радиусу $r$ этой окружности, то есть $OK = r$.

Найдем радиус вписанной окружности для данного прямоугольного треугольника $ABC$. Дано: катеты $AC = 15$ см и $BC = 20$ см, $\angle ACB = 90^\circ$. Сначала найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. $r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{15 + 20 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Следовательно, $OK = r = 5$ см.

Теперь, зная длины катета $OK$ и гипотенузы $DK$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DOK$, мы можем найти длину второго катета $DO$, который и является искомым расстоянием. По теореме Пифагора: $DO^2 + OK^2 = DK^2$ $H^2 + 5^2 = (\sqrt{74})^2$ $H^2 + 25 = 74$ $H^2 = 74 - 25 = 49$ $H = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.