Номер 104, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. Через точку $O$ проведена прямая $DO$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Точка $D$ удалена от этой плоскости на $\sqrt{13}$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до сторон треугольника, если $AB = BC = 20$ см, $AC = 24$ см.

По условию задачи, в треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $O$. Через точку $O$ проведена прямая $DO$, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $DO$ является перпендикуляром, опущенным из точки $D$ на плоскость $ABC$. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки $D$ до плоскости, то есть $DO = \sqrt{13}$ см.

Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника (например, стороны $AC$) — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $K$, тогда искомое расстояние — это длина отрезка $DK$.

Рассмотрим отрезки $DO$ (перпендикуляр к плоскости), $DK$ (наклонная) и $OK$ (проекция наклонной на плоскость $ABC$). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости, то и ее проекция $OK$ также перпендикулярна этой прямой $AC$.

С другой стороны, $O$ — центр вписанной окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до любой стороны треугольника равно радиусу этой окружности ($r$). Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, отрезок $OK$ — это радиус вписанной окружности, проведенный к точке касания $K$ на стороне $AC$, и его длина равна $r$.

В итоге мы имеем прямоугольный треугольник $DOK$ (угол $\angle DOK = 90^\circ$), в котором катеты — это $DO$ (расстояние от $D$ до плоскости) и $OK$ (радиус вписанной окружности $r$), а гипотенуза $DK$ — искомое расстояние от точки $D$ до стороны $AC$. По теореме Пифагора: $DK = \sqrt{DO^2 + OK^2}$.

Поскольку центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника, расстояния от точки $D$ до всех трех сторон ($AB$, $BC$ и $AC$) будут одинаковыми. Найдем это расстояние, вычислив сначала радиус $r$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 20$ см и $AC = 24$ см.Сначала найдем его полупериметр $p$:
$p = (20 + 20 + 24) / 2 = 64 / 2 = 32$ см.

Площадь треугольника $S$ найдем по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{32(32-20)(32-20)(32-24)} = \sqrt{32 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 8}$
$S = \sqrt{(4 \cdot 8) \cdot 144 \cdot 8} = \sqrt{4 \cdot 64 \cdot 144} = 2 \cdot 8 \cdot 12 = 192$ см².

Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле $r = S/p$:
$r = 192 / 32 = 6$ см.

Таким образом, $OK = r = 6$ см.

2. Нахождение расстояния от точки D до сторон треугольника

Теперь мы можем найти искомое расстояние $DK$, используя теорему Пифагора для треугольника $DOK$:
$DK = \sqrt{DO^2 + OK^2}$
$DK = \sqrt{(\sqrt{13})^2 + 6^2} = \sqrt{13 + 36} = \sqrt{49} = 7$ см.

Расстояние от точки $D$ до каждой из сторон треугольника $ABC$ одинаково и равно 7 см.

Ответ: 7 см.