Номер 101, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Через центр $O$ окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6 см, к плоскости треугольника проведён перпендикуляр $OM$ длиной 3 см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон треугольника.

Пусть дан правильный треугольник со стороной $a = 6$ см. Точка $O$ — центр вписанной окружности, который для правильного треугольника совпадает с центром описанной окружности, точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. К плоскости треугольника через точку $O$ проведен перпендикуляр $OM$ длиной $3$ см.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до сторон треугольника. Так как треугольник правильный, а точка $O$ — его центр, то расстояния от точки $M$ до всех сторон будут одинаковы. Найдем расстояние от точки $M$ до одной из сторон, например, до стороны $AC$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MH$ к стороне $AC$. Длина отрезка $MH$ — искомое расстояние.

Проведем в плоскости треугольника отрезок $OH$. Так как $OM$ — перпендикуляр к плоскости треугольника, $MH$ — наклонная, а $OH$ — ее проекция на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $OH$ перпендикулярна $AC$.

Отрезок $OH$ является перпендикуляром, проведенным из центра вписанной окружности к стороне треугольника, следовательно, $OH$ — это радиус вписанной окружности ($r$).

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле: $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$.

Подставим в формулу значение стороны $a = 6$ см: $OH = r = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $OMH$. Он является прямоугольным, так как отрезок $OM$ перпендикулярен плоскости треугольника, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$, в том числе и отрезку $OH$. Таким образом, $\angle MOH = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $OMH$ катеты равны $OM = 3$ см и $OH = \sqrt{3}$ см. Найдем гипотенузу $MH$ по теореме Пифагора:
$MH^2 = OM^2 + OH^2$
$MH^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 9 + 3 = 12$
$MH = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.