Номер 95, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Через точку $D$ окружности с центром $O$ и радиусом $8$ см проведена прямая $a$, перпендикулярная плоскости окружности. Через центр окружности в её плоскости проведена прямая $b$, образующая угол $60^\circ$ с прямой $OD$. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Обозначим плоскость, в которой лежит окружность, как $\alpha$. По условию задачи дано:

• Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OD = 8$ см.
• Прямая $a$ проходит через точку $D$ на окружности и перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).
• Прямая $b$ проходит через центр $O$ и лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).
• Угол между прямой $b$ и прямой $OD$ равен $60^\circ$.

Требуется найти расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися, так как одна из них ($b$) лежит в плоскости $\alpha$, а другая ($a$) пересекает эту плоскость в точке $D$, не принадлежащей первой прямой ($D \notin b$, поскольку угол между $OD$ и $b$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$).

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Построим этот общий перпендикуляр. Из точки $D$ опустим перпендикуляр $DH$ на прямую $b$ в плоскости $\alpha$. Точка $H$ будет лежать на прямой $b$.

Рассмотрим отрезок $DH$:

1. $DH \perp b$ по построению.
2. Так как прямая $a \perp \alpha$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $DH$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, $a \perp DH$.

Таким образом, $DH$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $b$, и его длина — искомое расстояние.

Найдем длину $DH$. Рассмотрим треугольник $\triangle ODH$, который лежит в плоскости $\alpha$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $DH \perp b$ по построению, значит $\angle OHD = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $OD$ равна радиусу окружности, $OD = 8$ см;
• угол $\angle DOH$ — это угол между прямой $OD$ и прямой $b$, по условию $\angle DOH = 60^\circ$.

Катет $DH$ противоположен углу $\angle DOH$. Для его нахождения воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle DOH) = \frac{DH}{OD}$
Выразим $DH$:
$DH = OD \cdot \sin(\angle DOH)$
Подставим известные значения:
$DH = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.