Номер 89, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Точка $M$ находится на расстоянии 5 см от каждой вершины равнобедренного треугольника $ABC$, в котором $AB = BC = 6$ см, $AC = 8$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника.

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Искомое расстояние — это длина отрезка $MH$. Так как точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ ($MA = MB = MC = 5$ см), то ее проекция $H$ на плоскость треугольника является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Расстояние от $H$ до любой вершины треугольника равно радиусу $R$ этой окружности ($HA = HB = HC = R$).

Из прямоугольного треугольника $MHA$ (с прямым углом $H$) по теореме Пифагора имеем: $MH^2 = MA^2 - HA^2$. Таким образом, чтобы найти $MH$, нам нужно сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB=BC=6$ см и $AC=8$ см.

Сначала найдем площадь $S$. Проведем высоту $BK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $AK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Из прямоугольного треугольника $ABK$ находим высоту $BK$:
$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см².

Теперь вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 8\sqrt{5}} = \frac{288}{32\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см.

Наконец, найдем расстояние $MH$ из треугольника $MHA$:
$HA = R = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см, а гипотенуза $MA = 5$ см.
$MH^2 = MA^2 - HA^2 = 5^2 - \left(\frac{9}{\sqrt{5}}\right)^2 = 25 - \frac{81}{5} = \frac{125 - 81}{5} = \frac{44}{5}$.
$MH = \sqrt{\frac{44}{5}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{55}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{55}}{5}$ см.