Номер 92, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1. Перпендикуляр и наклонная - номер 92, страница 17.

Условие.

92. На рисунке 27 изображён куб с ребром $a$. Найдите расстояние между прямыми $MN$ и $PK$.

Рис. 27

Решение.

Решение 2.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми MN и PK введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат (0, 0, 0) находится в левой задней нижней вершине куба. Направим ось Ox вдоль заднего ребра вправо, ось Oy – вдоль левого ребра вперед, и ось Oz – вверх.

Так как ребро куба равно $a$, то вершины куба будут иметь следующие координаты:

• Нижняя задняя левая: $(0, 0, 0)$
• Нижняя задняя правая: $(a, 0, 0)$
• Нижняя передняя левая: $(0, a, 0)$
• Нижняя передняя правая (точка P): $P(a, a, 0)$
• Верхняя задняя левая: $(0, 0, a)$
• Верхняя задняя правая (точка K): $K(a, 0, a)$
• Верхняя передняя левая: $(0, a, a)$
• Верхняя передняя правая: $(a, a, a)$

Теперь определим координаты точек M и N:

• Точка N является центром нижнего основания. Ее координаты равны полусумме координат вершин, соединенных диагональю, например, $(0, 0, 0)$ и $(a, a, 0)$. Таким образом, $N(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.
• Точка M является центром верхнего основания. Ее координаты равны полусумме координат вершин, соединенных диагональю, например, $(0, 0, a)$ и $(a, a, a)$. Таким образом, $M(\frac{0+a}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{a+a}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$.

Рассмотрим прямые MN и PK.

1. Прямая MN проходит через точки $N(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ и $M(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a)$. Заметим, что координаты $x$ и $y$ для обеих точек одинаковы. Это значит, что прямая MN параллельна оси Oz. Ее можно задать системой уравнений $\begin{cases} x = \frac{a}{2} \\ y = \frac{a}{2} \end{cases}$.

2. Прямая PK проходит через точки $P(a, a, 0)$ и $K(a, 0, a)$. Заметим, что координата $x$ для обеих точек равна $a$. Это значит, что вся прямая PK лежит в плоскости $x=a$. Эта плоскость является правой гранью куба.

Поскольку прямая MN параллельна оси Oz, а плоскость $x=a$ (в которой лежит прямая PK) перпендикулярна оси Ox, то прямая MN параллельна плоскости, содержащей прямую PK.

Расстояние между скрещивающимися прямыми в таком случае равно расстоянию от одной из прямых (MN) до плоскости, в которой лежит другая прямая (PK).

Чтобы найти это расстояние, нужно взять любую точку на прямой MN, например, точку N, и найти расстояние от этой точки до плоскости $x=a$.

Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $x=a$, равно $|x_0 - a|$.

Для точки $N(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ это расстояние будет равно:

$d = |\frac{a}{2} - a| = |-\frac{a}{2}| = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$