Номер 85, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Из точки, лежащей вне плоскости, проведены к ней две наклонные, длины которых равны 15 см и 27 см. Сумма длин проекций этих наклонных на плоскость равна 24 см. Найдите проекцию каждой наклонной.

Пусть из точки, лежащей вне плоскости, проведены две наклонные с длинами $l_1 = 15$ см и $l_2 = 27$ см. Пусть $h$ — расстояние от этой точки до плоскости (длина перпендикуляра). Проекции этих наклонных на плоскость обозначим как $p_1$ и $p_2$ соответственно.

Наклонная, ее проекция и перпендикуляр, опущенный из той же точки на плоскость, образуют прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются перпендикуляр и проекция, а гипотенузой — наклонная.

Согласно теореме Пифагора, мы можем составить два уравнения для двух наклонных:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2 \Rightarrow 15^2 = h^2 + p_1^2 \Rightarrow 225 = h^2 + p_1^2$ (1)
$l_2^2 = h^2 + p_2^2 \Rightarrow 27^2 = h^2 + p_2^2 \Rightarrow 729 = h^2 + p_2^2$ (2)

Из условия задачи известно, что сумма длин проекций равна 24 см:
$p_1 + p_2 = 24$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($h, p_1, p_2$). Выразим $h^2$ из уравнений (1) и (2):
$h^2 = 225 - p_1^2$
$h^2 = 729 - p_2^2$

Приравняем правые части этих выражений, так как левые части равны (перпендикуляр общий):
$225 - p_1^2 = 729 - p_2^2$

Перенесем члены с проекциями в одну сторону, а числовые значения в другую:
$p_2^2 - p_1^2 = 729 - 225$
$p_2^2 - p_1^2 = 504$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(p_2 - p_1)(p_2 + p_1) = 504$

Подставим в это уравнение известное значение суммы проекций из уравнения (3), $p_1 + p_2 = 24$:
$(p_2 - p_1) \cdot 24 = 504$

Теперь найдем разность длин проекций:
$p_2 - p_1 = \frac{504}{24} = 21$ (4)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для $p_1$ и $p_2$:
$\begin{cases} p_1 + p_2 = 24 \\ p_2 - p_1 = 21 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$(p_1 + p_2) + (p_2 - p_1) = 24 + 21$
$2p_2 = 45$
$p_2 = \frac{45}{2} = 22.5$ см.

Подставим найденное значение $p_2$ в уравнение (3), чтобы найти $p_1$:
$p_1 + 22.5 = 24$
$p_1 = 24 - 22.5 = 1.5$ см.

Таким образом, длины проекций двух наклонных равны 1,5 см и 22,5 см.
Ответ: 1,5 см и 22,5 см.