Страница 16 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$ длиной 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как $9 : 16$.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра $AH$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$. Обозначим $AH = h$.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости, то треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

По условию задачи даны длины наклонных:

$AB = 15$ см

$AC = 20$ см

Применим теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$:

$AB^2 = AH^2 + HB^2 \implies 15^2 = h^2 + HB^2 \implies 225 = h^2 + HB^2$ (1)

$AC^2 = AH^2 + HC^2 \implies 20^2 = h^2 + HC^2 \implies 400 = h^2 + HC^2$ (2)

Также из условия известно, что проекции наклонных относятся как $9 : 16$:

$\frac{HB}{HC} = \frac{9}{16}$

Введем коэффициент пропорциональности $k$, где $k > 0$. Тогда длины проекций можно записать как:

$HB = 9k$

$HC = 16k$

Подставим эти выражения в уравнения (1) и (2), получим систему уравнений:

$\begin{cases} 225 = h^2 + (9k)^2 \\ 400 = h^2 + (16k)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 225 = h^2 + 81k^2 \\ 400 = h^2 + 256k^2 \end{cases}$

Выразим $h^2$ из первого уравнения и подставим во второе. Из первого уравнения: $h^2 = 225 - 81k^2$.

Подставляем во второе уравнение:

$400 = (225 - 81k^2) + 256k^2$

$400 = 225 + 175k^2$

$400 - 225 = 175k^2$

$175 = 175k^2$

$k^2 = 1$

Так как $k > 0$, то $k = 1$.

Теперь найдем $h$. Подставим значение $k^2 = 1$ в выражение для $h^2$:

$h^2 = 225 - 81k^2 = 225 - 81(1) = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$

Таким образом, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.

85. Из точки, лежащей вне плоскости, проведены к ней две наклонные, длины которых равны 15 см и 27 см. Сумма длин проекций этих наклонных на плоскость равна 24 см. Найдите проекцию каждой наклонной.

Пусть из точки, лежащей вне плоскости, проведены две наклонные с длинами $l_1 = 15$ см и $l_2 = 27$ см. Пусть $h$ — расстояние от этой точки до плоскости (длина перпендикуляра). Проекции этих наклонных на плоскость обозначим как $p_1$ и $p_2$ соответственно.

Наклонная, ее проекция и перпендикуляр, опущенный из той же точки на плоскость, образуют прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются перпендикуляр и проекция, а гипотенузой — наклонная.

Согласно теореме Пифагора, мы можем составить два уравнения для двух наклонных:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2 \Rightarrow 15^2 = h^2 + p_1^2 \Rightarrow 225 = h^2 + p_1^2$ (1)
$l_2^2 = h^2 + p_2^2 \Rightarrow 27^2 = h^2 + p_2^2 \Rightarrow 729 = h^2 + p_2^2$ (2)

Из условия задачи известно, что сумма длин проекций равна 24 см:
$p_1 + p_2 = 24$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($h, p_1, p_2$). Выразим $h^2$ из уравнений (1) и (2):
$h^2 = 225 - p_1^2$
$h^2 = 729 - p_2^2$

Приравняем правые части этих выражений, так как левые части равны (перпендикуляр общий):
$225 - p_1^2 = 729 - p_2^2$

Перенесем члены с проекциями в одну сторону, а числовые значения в другую:
$p_2^2 - p_1^2 = 729 - 225$
$p_2^2 - p_1^2 = 504$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(p_2 - p_1)(p_2 + p_1) = 504$

Подставим в это уравнение известное значение суммы проекций из уравнения (3), $p_1 + p_2 = 24$:
$(p_2 - p_1) \cdot 24 = 504$

Теперь найдем разность длин проекций:
$p_2 - p_1 = \frac{504}{24} = 21$ (4)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для $p_1$ и $p_2$:
$\begin{cases} p_1 + p_2 = 24 \\ p_2 - p_1 = 21 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$(p_1 + p_2) + (p_2 - p_1) = 24 + 21$
$2p_2 = 45$
$p_2 = \frac{45}{2} = 22.5$ см.

Подставим найденное значение $p_2$ в уравнение (3), чтобы найти $p_1$:
$p_1 + 22.5 = 24$
$p_1 = 24 - 22.5 = 1.5$ см.

Таким образом, длины проекций двух наклонных равны 1,5 см и 22,5 см.
Ответ: 1,5 см и 22,5 см.

86. Четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Прямая $PB$ перпендикулярна плоскости ромба (рис. 26). Докажите, что углы $PDA$ и $PDC$ равны.

Для доказательства равенства углов $∠PDA$ и $∠PDC$ докажем равенство треугольников, в которые входят эти углы, то есть $ΔPDA$ и $ΔPDC$.

1. Сначала рассмотрим треугольники $ΔPBA$ и $ΔPBC$.

По условию, прямая $PB$ перпендикулярна плоскости ромба $ABCD$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $PB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $PB \perp AB$ и $PB \perp BC$. Это означает, что треугольники $ΔPBA$ и $ΔPBC$ являются прямоугольными, с прямыми углами $∠PBA$ и $∠PBC$ соответственно.

В этих прямоугольных треугольниках:

• катет $PB$ — общий;
• катеты $AB$ и $BC$ равны, так как по определению ромба все его стороны равны ($AB=BC=CD=DA$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔPBA$ и $ΔPBC$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в данном случае — гипотенуз: $PA = PC$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $ΔPDA$ и $ΔPDC$.

Сравним эти треугольники:

• сторона $PD$ — общая;
• стороны $AD$ и $CD$ равны, так как $ABCD$ — ромб;
• стороны $PA$ и $PC$ равны, что было доказано в предыдущем пункте.

Таким образом, $ΔPDA \cong ΔPDC$ по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $∠PDA = ∠PDC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

87. Из точки $T$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $TA$ и $TB$ и перпендикуляр $TO$, $TA = 6\sqrt{2}$ см, $OA = 2\sqrt{2}$ см, $AB = \sqrt{293}$ см, $\angle AOB = 135^\circ$. Найдите наклонную $TB$.

По условию, TO — перпендикуляр к плоскости α, а TA и TB — наклонные. Это означает, что отрезки OA и OB являются проекциями наклонных TA и TB на плоскость α соответственно. Так как TO перпендикулярен плоскости α, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку O. Следовательно, треугольники ΔTOA и ΔTOB являются прямоугольными с прямыми углами при вершине O.

Для нахождения длины наклонной TB, выполним следующие шаги:

1. Нахождение длины перпендикуляра TO

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔTOA (угол ∠TOA = 90°). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $TA^2 = TO^2 + OA^2$.

Выразим квадрат длины перпендикуляра TO:

$TO^2 = TA^2 - OA^2$

Подставим известные значения $TA = 6\sqrt{2}$ см и $OA = 2\sqrt{2}$ см:

$TO^2 = (6\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 2) - (4 \cdot 2) = 72 - 8 = 64$ см$^2$.

Отсюда, длина перпендикуляра $TO = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Нахождение длины проекции OB

Точки A, O и B лежат в плоскости α и образуют треугольник ΔAOB. Для нахождения длины стороны OB воспользуемся теоремой косинусов для стороны AB:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения: $AB = \sqrt{293}$ см, $OA = 2\sqrt{2}$ см, $\angle AOB = 135°$.

Предварительно найдем значение косинуса: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Пусть искомая длина $OB = x$. Подставляем все значения в формулу:

$(\sqrt{293})^2 = (2\sqrt{2})^2 + x^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot x \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$293 = 8 + x^2 + (2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot x$

$293 = 8 + x^2 + 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 4x + 8 - 293 = 0$

$x^2 + 4x - 285 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-285) = 16 + 1140 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 34}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 34}{2} = \frac{-38}{2} = -19$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, принимаем $x = 15$. Таким образом, $OB = 15$ см.

3. Нахождение длины наклонной TB

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔTOB (угол ∠TOB = 90°). По теореме Пифагора:

$TB^2 = TO^2 + OB^2$

Подставим найденные ранее значения $TO = 8$ см и $OB = 15$ см:

$TB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$ см$^2$.

Найдем длину TB, извлекая квадратный корень:

$TB = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.

88. Точка M равноудалена от вершин правильного шестиугольника и находится на расстоянии 4 см от его плоскости. Найдите расстояние от точки M до вершин шестиугольника, если радиус окружности, вписанной в шестиугольник, равен 6 см.

Пусть дан правильный шестиугольник, центр которого находится в точке $O$. Точка $M$ расположена вне плоскости шестиугольника.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин правильного шестиугольника, ее проекция на плоскость шестиугольника совпадает с центром описанной (и вписанной) окружности этого шестиугольника, то есть с точкой $O$.

Расстояние от точки $M$ до плоскости шестиугольника — это длина перпендикуляра $MO$. Согласно условию, $MO = 4$ см.

Расстояние от точки $M$ до любой вершины шестиугольника, например до вершины $A$, является длиной отрезка $MA$. Отрезки $MO$ (перпендикуляр к плоскости), $OA$ (проекция наклонной $MA$ на плоскость) и $MA$ (наклонная) образуют прямоугольный треугольник $\triangle MOA$, в котором угол $\angle MOA = 90^\circ$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle MOA$:
$MA^2 = MO^2 + OA^2$

Чтобы найти $MA$, нам необходимо определить длину катета $OA$. $OA$ — это радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника. В условии задачи дан радиус вписанной окружности $r = 6$ см. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ существуют следующие соотношения для радиусов описанной ($R$) и вписанной ($r$) окружностей:
$R = a$
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Мы можем выразить $r$ через $R$, подставив $a=R$ во вторую формулу:
$r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$
Теперь выразим $R$ из этого соотношения и подставим известное значение $r = 6$ см:
$R = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Таким образом, мы нашли длину катета $OA$, которая равна радиусу описанной окружности: $OA = R = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $MA$, подставив известные значения в теорему Пифагора:
$MA^2 = MO^2 + OA^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2$
$MA^2 = 16 + 16 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$
$MA = \sqrt{64} = 8$ см.

Расстояние от точки $M$ до вершин шестиугольника равно 8 см.

Ответ: 8 см.

89. Точка $M$ находится на расстоянии 5 см от каждой вершины равнобедренного треугольника $ABC$, в котором $AB = BC = 6$ см, $AC = 8$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника.

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Искомое расстояние — это длина отрезка $MH$. Так как точка $M$ равноудалена от вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ ($MA = MB = MC = 5$ см), то ее проекция $H$ на плоскость треугольника является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Расстояние от $H$ до любой вершины треугольника равно радиусу $R$ этой окружности ($HA = HB = HC = R$).

Из прямоугольного треугольника $MHA$ (с прямым углом $H$) по теореме Пифагора имеем: $MH^2 = MA^2 - HA^2$. Таким образом, чтобы найти $MH$, нам нужно сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Для нахождения радиуса $R$ воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB=BC=6$ см и $AC=8$ см.

Сначала найдем площадь $S$. Проведем высоту $BK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $AK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Из прямоугольного треугольника $ABK$ находим высоту $BK$:
$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
Площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см².

Теперь вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 8\sqrt{5}} = \frac{288}{32\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см.

Наконец, найдем расстояние $MH$ из треугольника $MHA$:
$HA = R = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см, а гипотенуза $MA = 5$ см.
$MH^2 = MA^2 - HA^2 = 5^2 - \left(\frac{9}{\sqrt{5}}\right)^2 = 25 - \frac{81}{5} = \frac{125 - 81}{5} = \frac{44}{5}$.
$MH = \sqrt{\frac{44}{5}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{55}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{55}}{5}$ см.

90. Через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $BD$. Расстояние между прямой $BD$ и плоскостью $\alpha$ равно 5 см, а проекции отрезков $AB$ и $AD$ на эту плоскость равны 8 см и 7 см соответственно. Найдите диагональ $AC$ параллелограмма, если диагональ $BD$ равна 9 см.

Найдем длины сторон параллелограмма AB и AD.

Пусть $B_1$ и $D_1$ — это проекции точек $B$ и $D$ на плоскость $\alpha$. Поскольку вершина $A$ лежит в плоскости $\alpha$, ее проекция совпадает с самой точкой $A$.

По условию, проекция отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ — это отрезок $AB_1$, и его длина равна $AB_1 = 8$ см. Аналогично, проекция отрезка $AD$ — это отрезок $AD_1$, и его длина равна $AD_1 = 7$ см.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Таким образом, отрезки $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle ADD_1$ являются прямоугольными.

По теореме Пифагора для этих треугольников имеем:

$AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2$

$AD^2 = AD_1^2 + DD_1^2$

Поскольку прямая $BD$ параллельна плоскости $\alpha$, все точки прямой $BD$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Следовательно, расстояния от точек $B$ и $D$ до плоскости $\alpha$ равны и равны заданному расстоянию между прямой и плоскостью, то есть $BB_1 = DD_1 = 5$ см.

Теперь можем найти квадраты длин сторон параллелограмма:

$AB^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$ см²

$AD^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74$ см²

Найдем диагональ AC.

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$

Нам известны $BD = 9$ см, а также мы нашли $AB^2 = 89$ и $AD^2 = 74$. Подставим эти значения в формулу:

$AC^2 + 9^2 = 2(89 + 74)$

$AC^2 + 81 = 2 \cdot 163$

$AC^2 + 81 = 326$

$AC^2 = 326 - 81$

$AC^2 = 245$

$AC = \sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = 7\sqrt{5}$ см.

Ответ: $7\sqrt{5}$ см.