Страница 13 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Угол между прямыми в пространстве

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 19). Найдите угол между прямыми:

1) $BB_1$ и $CD$;

2) $A_1C_1$ и $C_1D$;

3) $AB_1$ и $CD_1$;

4) $AB_1$ и $C_1D$;

5) $BB_1$ и $AD_1$.

Рис. 19

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве используется метод параллельного переноса одной из прямых так, чтобы она пересекла другую прямую. Угол между исходными скрещивающимися прямыми равен углу между получившимися пересекающимися прямыми.

1) $BB_1$ и $CD$

Прямые $BB_1$ и $CD$ являются скрещивающимися. Прямая $BB_1$ — боковое ребро куба, а $CD$ — ребро основания. Поскольку $ABCD$ — квадрат, то сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Следовательно, прямая $CD$ параллельна прямой $AB$. Тогда угол между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $CD$ равен углу между пересекающимися прямыми $BB_1$ и $AB$. Прямые $BB_1$ и $AB$ — это смежные рёбра куба, они образуют угол в квадрате $ABB_1A_1$. Таким образом, угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) $A_1C_1$ и $C_1D$

Прямые $A_1C_1$ и $C_1D$ пересекаются в точке $C_1$. Угол между ними — это угол $\angle A_1C_1D$ в треугольнике $\triangle A_1C_1D$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $A_1C_1$, $C_1D$ и $A_1D$ являются диагоналями граней куба (квадратов $A_1B_1C_1D_1$, $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно). Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $A_1C_1 = C_1D = A_1D = a\sqrt{2}$. Поскольку все стороны треугольника $\triangle A_1C_1D$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle A_1C_1D = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

3) $AB_1$ и $CD_1$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися диагоналями параллельных граней $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$. Выполним параллельный перенос прямой $CD_1$ на прямую $BA_1$ (так как векторы $\vec{CD_1}$ и $\vec{BA_1}$ равны). Искомый угол будет равен углу между прямыми $AB_1$ и $BA_1$. Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

4) $AB_1$ и $C_1D$

Прямые $AB_1$ и $C_1D$ являются скрещивающимися. $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$, а $C_1D$ — диагональ грани $CDD_1C_1$. Выполним параллельный перенос прямой $C_1D$ так, чтобы точка $C_1$ переместилась в точку $B_1$, а точка $D$ — в точку $A$ (это возможно, т.к. вектор $\vec{C_1B_1} = \vec{DA}$). Таким образом, прямая $C_1D$ перейдёт в прямую $B_1A$. Искомый угол равен углу между прямыми $AB_1$ и $B_1A$. Эти прямые совпадают. Угол между совпадающими (или параллельными) прямыми равен $0^\circ$. Также можно заметить, что четырехугольник $AB_1C_1D$ является параллелограммом (т.к. $\vec{AD} = \vec{B_1C_1}$), поэтому его противоположные стороны $AB_1$ и $DC_1$ параллельны. Прямая $DC_1$ совпадает с прямой $C_1D$.

Ответ: $0^\circ$.

5) $BB_1$ и $AD_1$

Прямые $BB_1$ и $AD_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $BB_1$ на прямую $AA_1$, так как боковые рёбра $BB_1$ и $AA_1$ параллельны. Искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми $AA_1$ и $AD_1$. Эти прямые лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$. Угол между ними — это угол $\angle A_1AD_1$. В квадрате $ADD_1A_1$ диагональ $AD_1$ является биссектрисой угла $\angle DAA_1$. Поскольку $\angle DAA_1 = 90^\circ$, то $\angle A_1AD_1 = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

64. Параллелограмм $ABCD$ и треугольник $BMC$ не лежат в одной плоскости. Точка $E$ — середина отрезка $BM$, точка $F$ — середина отрезка $MC$, $\angle BCM = 130^\circ$. Найдите угол между прямыми:

1) $AD$ и $EF$;

2) $AD$ и $MC$.

Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

1) $AD$ и $EF$

Рассмотрим треугольник $BMC$. Точка $E$ – середина отрезка $BM$, а точка $F$ – середина отрезка $MC$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BMC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне, то есть $EF \parallel BC$.

Мы имеем, что $AD \parallel BC$ и $EF \parallel BC$. Из этого следует, что прямые $AD$ и $EF$ параллельны друг другу ($AD \parallel EF$).

Угол между двумя параллельными прямыми равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

2) $AD$ и $MC$

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Так как $ABCD$ – параллелограмм, то $AD \parallel BC$.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $AD$ и $MC$ равен углу между пересекающимися прямыми $BC$ и $MC$.

Прямые $BC$ и $MC$ пересекаются в точке $C$ и образуют угол $\angle BCM$. По условию $\angle BCM = 130^\circ$.

По определению, угол между двумя прямыми – это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Он не может превышать $90^\circ$. При пересечении прямых $BC$ и $MC$ образуются два смежных угла, один из которых равен $130^\circ$. Второй угол будет равен $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Наименьший из этих углов равен $50^\circ$, что и является углом между прямыми $BC$ и $MC$, а значит, и между прямыми $AD$ и $MC$.

Ответ: $50^\circ$

65. Известно, что $OA \perp OB$, $OA \perp OC$, $OB \perp OC$ (рис. 20). Найдите отрезок $AB$, если $OB = 5 \text{ см}$, $BC = 13 \text{ см}$, $\angle ACO = 30^\circ$.

Из условия, что отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ попарно перпендикулярны ($OA \perp OB$, $OA \perp OC$, $OB \perp OC$), следует, что треугольники $\triangle OBC$, $\triangle OAC$ и $\triangle OAB$ являются прямоугольными с общим прямым углом при вершине O.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBC$ ($\angle BOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $OC$, зная гипотенузу $BC = 13$ см и катет $OB = 5$ см:

$BC^2 = OB^2 + OC^2$

$OC^2 = BC^2 - OB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$OC = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$ ($\angle AOC = 90^\circ$). Нам известен катет $OC = 12$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle ACO = 30^\circ$. Найдем катет $OA$ через тангенс этого угла:

$\tan(\angle ACO) = \frac{OA}{OC}$

$OA = OC \cdot \tan(30^\circ)$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$OA = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAB$ ($\angle AOB = 90^\circ$). Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора, используя найденный катет $OA = 4\sqrt{3}$ см и данный катет $OB = 5$ см:

$AB^2 = OA^2 + OB^2$

$AB^2 = (4\sqrt{3})^2 + 5^2 = (16 \cdot 3) + 25 = 48 + 25 = 73$

$AB = \sqrt{73}$ см.

Ответ: $\sqrt{73}$ см.

66. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найдите угол между прямыми $A_1B$ и $C_1D$, если

$AD = 3$ см, $AC = 5$ см, $AA_1 = 4\sqrt{3}$ см.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его основание $ABCD$ является прямоугольником. Следовательно, треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. По теореме Пифагора найдем длину стороны $CD$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$5^2 = 3^2 + CD^2$

$25 = 9 + CD^2$

$CD^2 = 16$

$CD = 4$ см.

Угол между скрещивающимися прямыми $A_1B$ и $C_1D$ равен углу между пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. В прямоугольном параллелепипеде боковая грань $ABB_1A_1$ параллельна боковой грани $DCC_1D_1$. Диагональ $A_1B$ грани $ABB_1A_1$ параллельна соответствующей диагонали $D_1C$ грани $DCC_1D_1$. Таким образом, искомый угол равен углу между прямыми $D_1C$ и $C_1D$.

Прямые $D_1C$ и $C_1D$ являются диагоналями прямоугольника $CDD_1C_1$. Найдем угол между ними. Стороны этого прямоугольника равны $CD = 4$ см и $CC_1 = AA_1 = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем длину диагонали $C_1D$ из прямоугольного треугольника $\triangle CC_1D$ (с прямым углом при вершине $C$):

$C_1D^2 = CD^2 + CC_1^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 16 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$

$C_1D = \sqrt{64} = 8$ см.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $D_1C$ и $C_1D$. Тогда в треугольнике $\triangle OCD$ стороны $OC$ и $OD$ равны половине длины диагонали:

$OC = OD = \frac{1}{2} C_1D = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Мы также знаем, что сторона $CD = 4$ см. Таким образом, треугольник $\triangle OCD$ является равносторонним, так как все его стороны равны 4 см ($OC = OD = CD = 4$ см). Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle DOC$, который является углом между диагоналями, равен $60^\circ$.

Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому искомый угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

67. Точки $E, F, M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AB, AD, CD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$, $AC = 14 \text{ см}$, $BD = 6\sqrt{2} \text{ см}$, $ME = \sqrt{109} \text{ см}$. Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Пусть $\alpha$ — искомый угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $E$ — середина $AB$ и $F$ — середина $AD$, то отрезок $EF$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $EF$ параллельна $BD$ и равна половине её длины:$EF \parallel BD$$EF = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $F$ — середина $AD$ и $M$ — середина $CD$, то отрезок $FM$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $FM$ параллельна $AC$ и равна половине её длины:$FM \parallel AC$$FM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми, которые им параллельны. Так как $EF \parallel BD$ и $FM \parallel AC$, то искомый угол $\alpha$ равен углу между прямыми $EF$ и $FM$. Этот угол равен $\angle EFM$ или $180^\circ - \angle EFM$.

Рассмотрим треугольник $EFM$. Нам известны длины всех трёх его сторон:$EF = 3\sqrt{2}$ см,$FM = 7$ см,$ME = \sqrt{109}$ см (по условию).

По теореме косинусов для треугольника $EFM$:$ME^2 = EF^2 + FM^2 - 2 \cdot EF \cdot FM \cdot \cos(\angle EFM)$

Подставим известные значения:$(\sqrt{109})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos(\angle EFM)$$109 = (9 \cdot 2) + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM)$$109 = 18 + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM)$$109 = 67 - 42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM)$

Выразим $\cos(\angle EFM)$:$42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM) = 67 - 109$$42\sqrt{2} \cdot \cos(\angle EFM) = -42$$\cos(\angle EFM) = \frac{-42}{42\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда находим угол $\angle EFM$:$\angle EFM = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$.

Угол между прямыми по определению является острым углом (или прямым), поэтому искомый угол $\alpha$ равен:$\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Перпендикулярность прямой и плоскости

68. В треугольнике $ABC$ (рис. 21) известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см, точка $M$ — середина отрезка $AB$. Прямая $DC$ перпендикулярна плоскости $ABC$, $DC = 12$ см. Найдите отрезок $DM$.

Рис. 21

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. Катеты $AC = 6$ см и $BC = 8$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Отрезок $CM$ является медианой, проведенной к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:

$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

3. По условию, прямая $DC$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что $DC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. Отрезок $CM$ лежит в плоскости $ABC$ и проходит через точку $C$, поэтому $DC \perp CM$.

4. Из перпендикулярности $DC$ и $CM$ следует, что треугольник $DCM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle DCM = 90^\circ$). В этом треугольнике $DC$ и $CM$ являются катетами, а $DM$ — гипотенузой. По теореме Пифагора найдем длину $DM$:

$DM^2 = DC^2 + CM^2$

$DM^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$DM = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.