Номер 68, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикулярность прямой и плоскости. Вариант 1. Упражнения - номер 68, страница 13.

Условие.

Перпендикулярность прямой и плоскости

68. В треугольнике $ABC$ (рис. 21) известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см, точка $M$ — середина отрезка $AB$. Прямая $DC$ перпендикулярна плоскости $ABC$, $DC = 12$ см. Найдите отрезок $DM$.

Рис. 21

Решение.

Решение 2.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. Катеты $AC = 6$ см и $BC = 8$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Отрезок $CM$ является медианой, проведенной к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:

$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

3. По условию, прямая $DC$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что $DC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. Отрезок $CM$ лежит в плоскости $ABC$ и проходит через точку $C$, поэтому $DC \perp CM$.

4. Из перпендикулярности $DC$ и $CM$ следует, что треугольник $DCM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle DCM = 90^\circ$). В этом треугольнике $DC$ и $CM$ являются катетами, а $DM$ — гипотенузой. По теореме Пифагора найдем длину $DM$:

$DM^2 = DC^2 + CM^2$

$DM^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$DM = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.