Номер 63, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Угол между прямыми в пространстве

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 19). Найдите угол между прямыми:

1) $BB_1$ и $CD$;

2) $A_1C_1$ и $C_1D$;

3) $AB_1$ и $CD_1$;

4) $AB_1$ и $C_1D$;

5) $BB_1$ и $AD_1$.

Рис. 19

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве используется метод параллельного переноса одной из прямых так, чтобы она пересекла другую прямую. Угол между исходными скрещивающимися прямыми равен углу между получившимися пересекающимися прямыми.

1) $BB_1$ и $CD$

Прямые $BB_1$ и $CD$ являются скрещивающимися. Прямая $BB_1$ — боковое ребро куба, а $CD$ — ребро основания. Поскольку $ABCD$ — квадрат, то сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Следовательно, прямая $CD$ параллельна прямой $AB$. Тогда угол между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $CD$ равен углу между пересекающимися прямыми $BB_1$ и $AB$. Прямые $BB_1$ и $AB$ — это смежные рёбра куба, они образуют угол в квадрате $ABB_1A_1$. Таким образом, угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) $A_1C_1$ и $C_1D$

Прямые $A_1C_1$ и $C_1D$ пересекаются в точке $C_1$. Угол между ними — это угол $\angle A_1C_1D$ в треугольнике $\triangle A_1C_1D$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $A_1C_1$, $C_1D$ и $A_1D$ являются диагоналями граней куба (квадратов $A_1B_1C_1D_1$, $CDD_1C_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно). Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $A_1C_1 = C_1D = A_1D = a\sqrt{2}$. Поскольку все стороны треугольника $\triangle A_1C_1D$ равны, он является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle A_1C_1D = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

3) $AB_1$ и $CD_1$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися диагоналями параллельных граней $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$. Выполним параллельный перенос прямой $CD_1$ на прямую $BA_1$ (так как векторы $\vec{CD_1}$ и $\vec{BA_1}$ равны). Искомый угол будет равен углу между прямыми $AB_1$ и $BA_1$. Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

4) $AB_1$ и $C_1D$

Прямые $AB_1$ и $C_1D$ являются скрещивающимися. $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$, а $C_1D$ — диагональ грани $CDD_1C_1$. Выполним параллельный перенос прямой $C_1D$ так, чтобы точка $C_1$ переместилась в точку $B_1$, а точка $D$ — в точку $A$ (это возможно, т.к. вектор $\vec{C_1B_1} = \vec{DA}$). Таким образом, прямая $C_1D$ перейдёт в прямую $B_1A$. Искомый угол равен углу между прямыми $AB_1$ и $B_1A$. Эти прямые совпадают. Угол между совпадающими (или параллельными) прямыми равен $0^\circ$. Также можно заметить, что четырехугольник $AB_1C_1D$ является параллелограммом (т.к. $\vec{AD} = \vec{B_1C_1}$), поэтому его противоположные стороны $AB_1$ и $DC_1$ параллельны. Прямая $DC_1$ совпадает с прямой $C_1D$.

Ответ: $0^\circ$.

5) $BB_1$ и $AD_1$

Прямые $BB_1$ и $AD_1$ являются скрещивающимися. Выполним параллельный перенос прямой $BB_1$ на прямую $AA_1$, так как боковые рёбра $BB_1$ и $AA_1$ параллельны. Искомый угол равен углу между пересекающимися прямыми $AA_1$ и $AD_1$. Эти прямые лежат в плоскости грани $ADD_1A_1$. Угол между ними — это угол $\angle A_1AD_1$. В квадрате $ADD_1A_1$ диагональ $AD_1$ является биссектрисой угла $\angle DAA_1$. Поскольку $\angle DAA_1 = 90^\circ$, то $\angle A_1AD_1 = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.