Номер 62, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 18), прямая $p_1$ — проекция прямой $p$, лежащей в плоскости $ABC$, на плоскость $\alpha$. Постройте прямую $p$.

Рис. 18

Поскольку по условию прямая $p$ лежит в плоскости $ABC$, а прямая $p_1$ является ее параллельной проекцией на плоскость $\alpha$, для построения прямой $p$ достаточно найти две ее точки. Мы можем найти точки пересечения прямой $p$ с другими прямыми, лежащими в плоскости $ABC$, например, со сторонами треугольника $AC$ и $BC$.

Алгоритм построения следующий:

1. Найдем точку $M$, которая является пересечением искомой прямой $p$ и прямой $AC$ ($M = p \cap AC$). Так как точка $M$ лежит на прямой $p$, ее проекция $M_1$ должна лежать на проекции прямой $p$, то есть на прямой $p_1$. Аналогично, так как $M$ лежит на прямой $AC$, ее проекция $M_1$ должна лежать на проекции прямой $AC$, то есть на прямой $A_1C_1$. Следовательно, точка $M_1$ является точкой пересечения прямых $p_1$ и $A_1C_1$. Построим прямые $A_1C_1$ и $p_1$ и найдем их точку пересечения $M_1$.
2. Точка $M$ является прообразом точки $M_1$ при данном параллельном проецировании. Это означает, что прямая $MM_1$ параллельна направлению проецирования (которое задается, например, прямой $AA_1$). Чтобы найти точку $M$, проведем через точку $M_1$ прямую, параллельную $AA_1$. Точка пересечения этой прямой с прямой $AC$ и будет искомой точкой $M$.
3. Аналогичным образом найдем точку $N$ — пересечение прямой $p$ и прямой $BC$ ($N = p \cap BC$). Ее проекция $N_1$ является точкой пересечения проекций этих прямых, то есть $N_1 = p_1 \cap B_1C_1$. Находим точку пересечения прямых $p_1$ и $B_1C_1$.
4. Чтобы найти точку $N$, проведем через точку $N_1$ прямую, параллельную направлению проецирования (например, прямой $BB_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой $BC$ будет искомой точкой $N$.
5. Мы нашли две точки $M$ и $N$, принадлежащие прямой $p$. Проводим прямую через эти две точки. Прямая $MN$ и есть искомая прямая $p$.

Обоснование: Построенная прямая $p$ проходит через точки $M$ и $N$. Точка $M$ лежит на прямой $AC$, а точка $N$ — на прямой $BC$. Следовательно, вся прямая $MN$ лежит в плоскости $ABC$. Проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$ по построению является точка $M_1$, лежащая на прямой $p_1$. Проекцией точки $N$ является точка $N_1$, также лежащая на прямой $p_1$. Так как при параллельном проецировании проекцией прямой является прямая (проходящая через проекции ее точек), то проекцией построенной прямой $p$ является прямая $M_1N_1$, то есть прямая $p_1$. Таким образом, построенная прямая удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая прямая $p$ — это прямая, проходящая через точки $M$ и $N$. Точка $M$ находится как пересечение прямой $AC$ с прямой, проведенной через точку $M_1 = p_1 \cap A_1C_1$ параллельно $AA_1$. Точка $N$ находится как пересечение прямой $BC$ с прямой, проведенной через точку $N_1 = p_1 \cap B_1C_1$ параллельно $BB_1$.