Номер 59, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Треугольник $A_1B_1C_1$ — изображение равностороннего треугольника $ABC$. Постройте изображение ромба $ADEF$, если $D \in AB$, $E \in BC$, $F \in AC$.

Для построения изображения ромба $ADEF$ необходимо сначала определить его расположение в оригинальном равностороннем треугольнике $ABC$.

Поскольку $ADEF$ — ромб, то его стороны равны: $AD = DE = EF = FA$. Вершина $A$ является общей для ромба и треугольника. Вершины $D$ и $F$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Из равенства сторон ромба следует, что $AD=AF$. В равностороннем треугольнике $ABC$ угол $\angle BAC = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $ADF$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, что делает его равносторонним. Таким образом, $AD = AF = DF$.

Из свойств ромба следует, что его противоположные стороны параллельны. В частности, $DE \parallel AF$, и так как $F \in AC$, то $DE \parallel AC$. Аналогично, $EF \parallel AD$, и так как $D \in AB$, то $EF \parallel AB$.

Параллельность $DE \parallel AC$ означает, что треугольник $BDE$ подобен треугольнику $BCA$. Так как $\triangle BCA$ равносторонний, то и $\triangle BDE$ равносторонний, и $BD=DE$. Учитывая, что $AD=DE$ (стороны ромба), получаем $AD=BD$. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $AB$.

Аналогично доказывается, что $F$ — середина стороны $AC$, а $E$ — середина стороны $BC$.

Таким образом, в исходной конфигурации вершины ромба $D, E, F$ являются серединами сторон треугольника $ABC$.

При параллельном проектировании сохраняется свойство точки быть серединой отрезка. Это означает, что изображение точки, являющейся серединой отрезка, будет являться серединой изображения этого отрезка. Следовательно, для построения изображения ромба $A_1D_1E_1F_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$ необходимо найти середины его сторон.

Построение:

1. На стороне $A_1B_1$ данного треугольника $A_1B_1C_1$ строим её середину — точку $D_1$.
2. На стороне $A_1C_1$ строим её середину — точку $F_1$.
3. На стороне $B_1C_1$ строим её середину — точку $E_1$.
4. Последовательно соединяем отрезками точки $A_1, D_1, E_1$ и $F_1$.

Полученный четырёхугольник $A_1D_1E_1F_1$ является искомым изображением ромба. В общем случае он будет являться параллелограммом.

Ответ: Искомое изображение ромба — это четырёхугольник $A_1D_1E_1F_1$, где $D_1, E_1, F_1$ — середины сторон $A_1B_1, B_1C_1, A_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно.